运城学院应用数学系2017一2018学年第一学期期末考试抽象代数B 一、填空题（每空3分，共30分) 1、在群G中元素a和b满足条件 1)对任意的x∈G,有ax=xa=x: 2)b为单位元。 则a、b的关系为a=b 2、设0=(42735)是一个轮换，则σ的逆为(53724)。 3、设群G的阶为n,G的元素a的阶为m,那么m与n间的关系为一mln一 4、已知群G中的元素a的阶等于30，则a2的阶等于5。 5、设H是有限群G的子群，且G有左陪集分类{H,aH,bH,cH}。如果H=6, 那么G的阶为24 6、规定实数集R上的运算×为a×b=4ab(等号右边的运算是普通乘法)，则对于结 合率和交换率而言，这个运算满足结合率、交换率。 7、实数集G关于乘法：a·b=a+b+4是群，那么5的逆元是-13。 8、H是群G的正规子群，商群%中a的逆元为H一· 9、整数加群Z有2个生成元。 l0、设a、b、c和x都是群G中的元素，且x2a=bxc,acx=Xac,那么x= be"a-1 二、简答题（每小题10分，共40分) 11、G是交换群，证明G中有限阶元的集合组成G的子群。 证明：令H={a∈Ga的阶有限}。廿a,b∈H,设a的阶为n,b的阶为m,则由 (ab)mn=amnbmn-=e,知ab的阶有限，即ab∈H;.6分 又由a=e,得(al)=(al)a=e,所以al∈H: 所以H是G的子群。.4分 12、设H是G的子群，且H含于G的中心，如果商群C升是循环群，证明G是 交换群。 证明：由HSC(G)知道H是G的正规子群，所以G升是商群。 由么是循环群，可设h=(aH),a∈G。任取xy∈G,考虑xy所在的陪集 xH,yH,则存在整数k,l,使得xH=(aH=aH,yH=(aH=aH。.4分 所以存在c1,c2∈C(G),满足X=ac1,y=ac2。.3分 所以Xy=ac1ac2=aac1c2=aac1c2=ac2ac1yX。故G是交换群。.3分 13、设有置换σ=(1345)(1245)，t=(234)(456)∈S6,将t。写成不相交轮换的乘 积的形式，并确定它的奇偶性。运城学院应用数学系 2017—2018 学年第一学期期末考试抽象代数 B 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、在群 G 中元素 a 和 b 满足条件 1) 对任意的 x∈G，有 ax=xa=x； 2) b 为单位元。 则 a、b 的关系为 a=b 。 2、设 σ=(4 2 7 3 5)是一个轮换，则 σ 的逆为 (5 3 7 2 4) 。 3、设群 G 的阶为 n，G 的元素 a 的阶为 m，那么 m 与 n 间的关系为 mn 。 4、已知群 G 中的元素 a 的阶等于 30，则 a 12的阶等于 5 。 5、设 H 是有限群 G 的子群，且 G 有左陪集分类{H，aH，bH，cH}。如果|H| = 6， 那么 G 的阶为 24 6、规定实数集 R 上的运算×为 a×b=4ab(等号右边的运算是普通乘法)，则对于结 合率和交换率而言，这个运算满足 结合率、交换率 。 7、实数集 G 关于乘法·：a · b = a + b + 4 是群，那么 5 的逆元是 –13 。 8、H 是群 G 的正规子群，商群 G H 中 aH 的逆元为 a -1H 。 9、整数加群 Z 有 2 个生成元。 10、设 a、b、c 和 x 都是群 G 中的元素，且 x 2 a = bxc-1，acx = xac，那么 x = bc-1 a -1 。 二、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 11、G 是交换群，证明 G 中有限阶元的集合组成 G 的子群。 证明：令 H a G a   { 的阶有限}。  a b H , ，设 a 的阶为 n，b 的阶为 m，则由 (ab)mn=amnb mn=e，知 ab 的阶有限，即 ab∈H；......6 分 又由 a n =e，得(a-1 ) n =(a-1 ) n a n =e，所以 a -1∈H； 所以 H 是 G 的子群。......4 分 12、设 H 是 G 的子群，且 H 含于 G 的中心，如果商群 G H 是循环群，证明 G 是 交换群。 证明：由 H C G  ( ) 知道 H 是 G 的正规子群，所以 G H 是商群。 由 G H 是循环群，可设 G aH H    ，a∈G。任取 x, y∈G，考虑 x, y 所在的陪集 xH, yH，则存在整数 k, l，使得 xH=(aH)k =a kH，yH=(aH)l =a lH。……4 分 所以存在 c1, c2∈C(G)，满足 x=a k c1，y=a l c2。……3 分 所以 x y =a k c1a l c2=a k a l c1c2 =a l a k c1c2= a l c2a k c1=yx。故 G 是交换群。……3 分 13、设有置换 σ = (1345)(1245)，τ = (234)(456)∈S6，将 τ -1 σ 写成不相交轮换的乘 积的形式，并确定它的奇偶性