，4分 rro=02345 6 64312 =(16524)。.4分 是偶置换。…2分 14、设0是群G到群G的满同态映射，K=kerp,a,b∈G,证明若p(a)=o(b), 则aK=bK。 证明：由o(a)=p(b)得ē=o(a)p(b)=p(ab),所以ab∈K,所以aK=bK。10 分 三、解答题（每小题10分，共30分） 15(应用题)、写出12阶循环群〈的所有子群。 解：1阶子群为{e}, 2阶子群为{e,a}, 3阶子群为{e,a,a}, 4阶子群为{e,a,a,a}, 6阶子群为{e,a,a,a,a,a}, 12阶子群为a）。 l6(证明题)、证明数集Z[的={a+bia,b∈Z关于数的加法与乘法构成一个有单 位元的交换环。 证明：I)任给a=a+bi,B=c+di∈Z,a,b,c,d∈Z,则 a+β=(a+c)+(b+d)i∈Z[i门 a邱=(ac-bd)+(ad+bc)i∈Z[i 所以，数的加法与乘法是Z[的的代数运算。.2分 2)因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以Z的 的加法与乘法也满足这些运算律。2分 3)因为0=0+0i∈Z[,且对任意的a=a+bi∈Z[i,有0+a=a+0=a,所以 0为Z的的零元。2分 4)对任意的a=a+bi∈Z[i门，有-a=-a-bi=(-a)+(-b)i∈Z[i),且a+(-a)=0, 所以，a=a+bi∈Z[的的负元为(-a)+(-b)i∈Z[门。2分 5)因为1=1+0i∈Z[问，且对任意的a=a+bi∈Z[i,有1a=al=u,所以数1 为Z[的的单位元。2分 证毕。 17(拓展题)、使图形不变形地变到与它重合的变换称为这个图形的对称变换。解： 1 2 3 4 5 6 1 3 4 5 6 2         ， 1 1 2 3 4 5 6 1 6 2 3 4 5          ，......4 分 1 1 2 3 4 5 6 (16524) 6 4 3 1 2 5            。......4 分 是偶置换。......2 分 14、设 φ 是群 G 到群 G 的满同态映射，K = kerφ，a，b∈G，证明若 φ(a) = φ(b)， 则 aK = bK。 证明：由 φ(a) = φ(b)得 ē = φ(a) -1 φ(b) = φ(a-1 b)，所以 a -1 b∈K，所以 aK = bK。......10 分 三、解答题（每小题 10 分，共 30 分） 15(应用题)、写出 12 阶循环群   a 的所有子群。 解：1 阶子群为 {e}， 2 阶子群为 6 {e,a }， 3 阶子群为 4 8 {e,a ,a }， 4 阶子群为 3 6 9 {e,a ,a ,a }， 6 阶子群为 2 4 6 8 10 {e,a ,a ,a ,a ,a }， 12 阶子群为   a 。 16(证明题)、证明数集 Z[i] = {a + bi | a, b∈Z}关于数的加法与乘法构成一个有单 位元的交换环。 证明：1) 任给 α = a + bi, β = c + di∈Z[i]，a, b, c, d ∈Z，则 α + β = (a + c) + (b + d)i∈Z[i] αβ = (ac - bd) + (ad + bc)i∈Z[i] 所以，数的加法与乘法是 Z[i]的代数运算。......2 分 2) 因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z[i] 的加法与乘法也满足这些运算律。......2 分 3) 因为 0 = 0 + 0i∈Z[i]，且对任意的 α = a + bi∈Z[i]，有 0 + α = α + 0 = α，所以 0 为 Z[i]的零元。......2 分 4) 对任意的 α = a + bi∈Z[i]，有-α = -a – bi = (-a) + (-b)i∈Z[i]，且 α + (-α) = 0， 所以，α = a + bi∈Z[i]的负元为(-a) + (-b)i∈Z[i]。......2 分 5) 因为 1 = 1 + 0i∈Z[i]，且对任意的 α = a + bi∈Z[i]，有 1α = α1 = α，所以数 1 为 Z[i]的单位元。......2 分 证毕。 17(拓展题)、使图形不变形地变到与它重合的变换称为这个图形的对称变换