左侧的前两项是随体导数。假设流体不可压缩,则第三项为零。式45化为 Dt=Dv'C+G DC (46) 211例题:热传导、对流及熔化 有一个固体直杆,初始温度为,一端加热后开始熔化。假设加热均匀,则熔化界面是平 面且垂直于柱体的对称轴(也许它正在旋转,或者像一个蜡烛或熔化的电极一样直),这就涉及 到动态界面问题,因为熔化界面这个边界条件随时间变化。 如果我们把熔化的界面作为参照系,则问题将会大大简化。在这个参照系中,边界固定,但是 固体向界面的运动速度不变。很难明确说明对流热通量的绝对意义,但如果我们关心的只是对 流通量差,而不是其绝对大小,则在恒压下,我们可以用upT来表示 现在讨论一小段厚度为Δⅹ的柱体。薄层左侧坐标为ⅹ,右侧ⅹ+Δx,而且ⅹ轴与柱轴 平行。假设只有轴向的热传递,且温度只是x的函数。令进入薄片的热量与出去的热量相等得 AAxAc,L=A(u, pc, T+q ) -A(u,pc, T+q (47) 化简得 (48) 当Ax→>0时,得 aT T DT aq (49) at 在等号左面的仍是随体导数。若热导率恒定,则式7可变为 dT aT (50) 加上热源后的矢量式 DT =avt+ D 在熔化过程中,热量沿着直杆径向传递,使其温度髙于熔融界面:同时,直杄相对于界面 的运动又使热量向熔融界面传递来使其温度降低,一段时间之后,达到稳定平面,从而温度只 是x的函数。同时,可 t 0所以式50可写为 T=A+Bexp (53)11 左侧的前两项是随体导数。假设流体不可压缩，则第三项为零。式 45 化为 D C G Dt DC 2 = ∇ + (46) 2.1.1 例题：热传导、对流及熔化 有一个固体直杆，初始温度为 ，一端加热后开始熔化。假设加热均匀，则熔化界面是平 面且垂直于柱体的对称轴（也许它正在旋转，或者像一个蜡烛或熔化的电极一样直），这就涉及 到动态界面问题，因为熔化界面这个边界条件随时间变化。 如果我们把熔化的界面作为参照系，则问题将会大大简化。在这个参照系中，边界固定，但是 固体向界面的运动速度不变。很难明确说明对流热通量的绝对意义，但如果我们关心的只是对 流通量差，而不是其绝对大小，则在恒压下，我们可以用 uρc pT 来表示。 现在讨论一小段厚度为 ∆x 的柱体。薄层左侧坐标为 x ，右侧 x + ∆x ，而且 x 轴与柱轴 平行。假设只有轴向的热传递，且温度只是 x 的函数。令进入薄片的热量与出去的热量相等得 [ ] ( ) [ ( )]x x x p x x p x p x A u c T q A u c T q t T A x c +∆ = + − + ∂ ∂ ∆ ⋅ ρ ρ ρ (47) 化简得 x q q x T T c u t T c x x x x x x p p x ∆ − + ∆ − = ∂ ∂ +∆ +∆ ρ ρ (48) 当 ∆x → 0 时，得 x q Dt DT c x T c u t T c x p p x p ∂ ∂ = = − ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ ρ ρ (49) 在等号左面的仍是随体导数。若热导率恒定，则式 7 可变为 2 2 x T Dt DT ∂ ∂ = α (50) 加上热源后的矢量式： p 2 c q T Dt DT ρ α & = ∇ + (51) 在熔化过程中，热量沿着直杆径向传递，使其温度高于熔融界面；同时，直杆相对于界面 的运动又使热量向熔融界面传递来使其温度降低，一段时间之后，达到稳定平面，从而温度只 是 x 的函数。同时， 0 t T = ∂ ∂ 所以式 50 可写为 2 2 x dx d T dx dT u = α (52) 通解为： ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + α u x T A Bexp x (53)