3.21流体流动及流体动力学 Adam powell 2003年4月23-30日 摘要 材料科学与工程主要研究材料的结构性能以及加工工艺之间的关系。加工工艺对结构的影 响主要是通过反应动力学,相变化以及传质传热来实现的。通常一个过程的关键控制步骤是对 某单元提供足够的能量或试剂,而试剂或能量常常又是通过流体传递的,因此流体流动对能量 以及质量的传递速率有很大的影响。由于在流体流动时既有扩散又有对流,而且对流流动时流 体速度对浓度和温度分布有影响,因此流体流动中的传质和传热要比在固体中的复杂。另外, 非线性的对流传递将导致湍流的发生。湍流的本质是对流,可以强化质量、热量及动量的扩散。 在接下来的四讲中将会介绍流体动力学的一些概念:动量传递,对流流动,流体性质的封 闭方程(奈维-斯托克斯方程),耦合流动,溶质/热量在流体中的扩散以及湍流流动及输送。最 后将介绍一定流动状态下流体与简单集合形状固体之间的传质、传热系数的计算方法,并将其 扩展到较复杂的情况。通过本部分的学习,将会使读者对于流体输送中的流体动力学具有较深 的了解,并得到系统的动力学知识。 目录: l.动量扩散剪应力压力和斯托克斯流动 1.1溶质扩散及热量扩散简介-- 12速度矢量场及动量扩散张量 333 -5 13动量扩散与机械应力的关系 14斯托克斯流动- 14.τ的分解方程- 142密度p的表达式 143质量守恒与连续性方程 144简化的封闭斯托克斯流动方程 15溶质扩散、热量扩散及动量扩散小结 16例题 16.1库爱特流动- 16.2由于重力作用沿倾斜面的流动-8 163绕过球体的流动 7练习 2.随体导数及奈维斯托克斯方程一 21随体导数- 10 2.1.1例题:热传导、对流、熔化--
1 3.21 流体流动及流体动力学 Adam Powell 2003 年 4 月 23－30 日 摘 要 材料科学与工程主要研究材料的结构性能以及加工工艺之间的关系。加工工艺对结构的影 响主要是通过反应动力学，相变化以及传质传热来实现的。通常一个过程的关键控制步骤是对 某单元提供足够的能量或试剂，而试剂或能量常常又是通过流体传递的，因此流体流动对能量 以及质量的传递速率有很大的影响。由于在流体流动时既有扩散又有对流，而且对流流动时流 体速度对浓度和温度分布有影响，因此流体流动中的传质和传热要比在固体中的复杂。另外， 非线性的对流传递将导致湍流的发生。湍流的本质是对流，可以强化质量、热量及动量的扩散。 在接下来的四讲中将会介绍流体动力学的一些概念：动量传递，对流流动，流体性质的封 闭方程（奈维-斯托克斯方程），耦合流动，溶质/热量在流体中的扩散以及湍流流动及输送。最 后将介绍一定流动状态下流体与简单集合形状固体之间的传质、传热系数的计算方法，并将其 扩展到较复杂的情况。通过本部分的学习，将会使读者对于流体输送中的流体动力学具有较深 的了解，并得到系统的动力学知识。 目录： 1. 动量扩散、剪应力、压力和斯托克斯流动-------------------------------------------------------------------3 1.1 溶质扩散及热量扩散简介--------------------------------------------------------------------------------3 1.2 速度矢量场及动量扩散张量-----------------------------------------------------------------------------3 1.3 动量扩散与机械应力的关系-----------------------------------------------------------------------------4 1.4 斯托克斯流动-----------------------------------------------------------------------------------------------5 1.4.1τ的分解方程-----------------------------------------------------------------------------------------5 1.4.2 密度 ρ的表达式-----------------------------------------------------------------------------------6 1.4.3 质量守恒与连续性方程----------------------------------------------------------------------------6 1.4.4 简化的封闭斯托克斯流动方程------------------------------------------------------------------6 1.5 溶质扩散、热量扩散及动量扩散小结--------------------------------------------------------------------7 1.6 例题-----------------------------------------------------------------------------------------------------------7 1.6.1 库爱特流动---------------------------------------------------------------------- --------------------7 1.6.2 由于重力作用沿倾斜面的流动----------------------- -------------------------------------------8 1.6.3 绕过球体的流动-------------------------------------------------------------------------------------9 1.7 练习------------------------------------------------------------------------------------------------------------9 2. 随体导数及奈维-斯托克斯方程------------------------------------------------------------------------------9 2.1 随体导数-----------------------------------------------------------------------------------------------------10 2.1.1 例题：热传导、对流、熔化-------------------------------------------------------------------------11
22流体流动方程中的对流项- 22.1连续性方程-- 222动量对流 223奈维一斯托克斯方程-- 224例题:圆管内流动 23雷诺数 -14 2.3.1例题:绕球体的流动- 14 4湍流的形成- 2.5练习------------- 3层流边界层与曳力系数一 3.1简例:运动固体的“热边界层” ---16 3.2经典流动范例:平板上流动- 16 3.21平壁上流动的动量边界层- 3.22边界层与入口长度 18 3.2.3平壁上层流流动时曳力 3.3摩擦因数-------------------19 3.31平板上摩擦因数 3.32管内流动 3.33绕球体流动 3.34绕柱体流动- 34练习- 4传热和传质系数的计算 41对流传热和传质系数 23 41.1相对扩散系数:普朗特数---23 41.2无量纲传递系数:努塞尔数 23 42平壁强制对流- 42.1普朗特数小的情况 422普朗特数大的情况-- 42.3湍流的影响 43自然对流- 44小结:求解步骤- 4.5练习 6 无量纲数群组小结 2
2 2.2 流体流动方程中的对流项--------------------------------------------------------------------------------12 2.2.1 连续性方程------------------------------------------------------------------------------------------12 2.2.2 动量对流--------------------------------------------------------------------------------------------12 2.2.3 奈维—斯托克斯方程-----------------------------------------------------------------------------13 2.2.4 例题：圆管内流动---------------------------------------------------------------------------------14 2.3 雷诺数-------------------------------------------------------------------------------------------------------14 2.3.1 例题：绕球体的流动-------------------------------------------------------------------------------14 2.4 湍流的形成--------------------------------------------------------------------------------------------------14 2.5 练习-----------------------------------------------------------------------------------------------------------14 3 层流边界层与曳力系数---------------------------------------------------------------------------------------15 3.1 简例：运动固体的“热边界层”---------------------------------------------------------------------------16 3.2 经典流动范例：平板上流动----------------------------------------------------------------------------- 16 3.2.1 平壁上流动的动量边界层----------------------------------------------------------------------- 17 3.2.2 边界层与入口长度----------------------------------- --------------------------------------------18 3.2.3 平壁上层流流动时曳力--------------------------------------------------------------------------18 3.3 摩擦因数----------------------------------------------------------------------------------------------------19 3.3.1 平板上摩擦因数---------------------------------------------------- ------------------------------19 3.3.2 管内流动------------------------------------------------------------------------------------------- 20 3.3.3 绕球体流动---------------------------------------------------------------------------------------- 21 3.3.4 绕柱体流动---------------------------------------------------------------------------------------- 21 3.4 练习----------------------------------------------------------------------------------------------------------21 4 传热和传质系数的计算----------------------------------------------------------------------------------------22 4.1 对流传热和传质系数-------------------------------------------------------------------------------------23 4.1.1 相对扩散系数：普朗特数------------------------------------------------------------------------23 4.1.2 无量纲传递系数：努塞尔数-------------------------------------------------------------------- 23 4.2 平壁强制对流----------------------------------------------------------------------------------------------24 4.2.1 普朗特数小的情况---------------------------------------------------------------------------------24 4.2.2 普朗特数大的情况--------------------------------------------------------------------------------25 4.2.3 湍流的影响------------------------------------------------------------------------------------------25 4.3 自然对流-----------------------------------------------------------------------------------------------------25 4.4 小结：求解步骤---------------------------------------------------------------------------------------------26 4.5 练习-----------------------------------------------------------------------------------------------------------26 无量纲数群组小结------------------------------------------------------------------------------------------------26
1.动量扩散、剪应力、压力和斯托克斯流动 因为由剪切力引起的动量传递速率与动量梯度成正比,所以粘性剪切是一个扩散过程,这 和溶质及热量扩散非常相似。本章首先简单回顾溶质扩散和热量扩散,介绍动量扩散的概念, 剪应力张量的表达及压力的作用,并得到封闭系统的斯托克斯流动方程:斯托克斯流动方程是 个偏随体导数,其中的标量和矢量分别描述低速流体流动系统的压力与速度 1.1溶质扩散和热量扩散简介 在溶质扩散中,有一个浓度场Cx,y,z),单位是摩尔(或者克)单位体积;通量J,单位是 摩尔/(单位面积单位时间),因此守恒方程可以写作 =-V·j+G at 注:当忽略动量的对流传递时,斯托克斯流动依然成立(23节中)。 式中,G是由于化学物质、原子或由其它物质产生的起源项。J可由费克(Fck)第一定律得 J -DVC (其中D是扩散系数) 从而得到封闭的浓度控制方程: at V·DVC+G D值恒定时,上式可化为: aC DV20 在热量扩散过程中,场变量是T(xy,z),通量q的单位是每单位面积和单位时间的热能。 这样就需要把能量单位换成温度单位。在恒压条件下: aH =OC ot 式中,q仍可以通过下面的方程来求解,其中的k是热导率 q=-kVT 为方便起见,假定k为常数,可定义热扩散系数a=k/PCn,从而得到封闭的与温度T有 关的偏随体导数: kV+ 12速度矢量场与动量扩散张量 流体流动与上述溶质扩散和热量扩散不同,因为场变量是矢量场u(x,y,z),即流体速度 但是我们可以像质量及热量传递那样对每一扩散组分写出守恒方程及推导方程。描述每一组分 在各个方向动量传递的动量通量是一个二阶张量r,例如r是x方向的动量在y方向的传递
3 1. 动量扩散、剪应力、压力和斯托克斯流动 因为由剪切力引起的动量传递速率与动量梯度成正比，所以粘性剪切是一个扩散过程，这 和溶质及热量扩散非常相似。本章首先简单回顾溶质扩散和热量扩散，介绍动量扩散的概念， 剪应力张量的表达及压力的作用，并得到封闭系统的斯托克斯流动方程：斯托克斯流动方程是 一个偏随体导数，其中的标量和矢量分别描述低速流体流动系统的压力与速度。 1.1 溶质扩散和热量扩散简介 在溶质扩散中，有一个浓度场 C(x, y, z), 单位是摩尔（或者克）/单位体积；通量 J ，单位是 摩尔/（单位面积单位时间），因此守恒方程可以写作： j G t C = −∇ ⋅ + ∂ ∂ r (1) 注：当忽略动量的对流传递时，斯托克斯流动依然成立（2.3 节中）。 式中，G 是由于化学物质、原子或由其它物质产生的起源项。 J 可由费克（Fick）第一定律得: J = −D∇C （ 其中 D 是扩散系数） (2) 从而得到封闭的浓度控制方程： D C G t C = ∇ ⋅ ∇ + ∂ ∂ (3) D 值恒定时，上式可化为： D C G t C = ∇ + ∂ ∂ 2 (4) 在热量扩散过程中，场变量是 T(x, y, z), 通量 q 的单位是每单位面积和单位时间的热能。 这样就需要把能量单位换成温度单位。在恒压条件下： q q t T c t H p = −∇ ⋅ + & ∂ ∂ = ∂ ∂ ρ (5) 式中， q& 仍可以通过下面的方程来求解，其中的 k 是热导率： q = −k∇T (6) 为方便起见，假定 k 为常数，可定义热扩散系数 p α = k / ρc ，从而得到封闭的与温度 T 有 关的偏随体导数： p c q k t T ρ & = ∇ + ∂ ∂ 2 (7) 1.2 速度矢量场与动量扩散张量 流体流动与上述溶质扩散和热量扩散不同，因为场变量是矢量场u (x, y, z), 即流体速度。 但是我们可以像质量及热量传递那样对每一扩散组分写出守恒方程及推导方程。描述每一组分 在各个方向动量传递的动量通量是一个二阶张量τ ，例如 yx τ 是 x 方向的动量在 y 方向的传递
由于热量扩散的存在,守恒方程比较复杂,但是动量密度pu却可以很容易地写出,所以ⅹ方 向的守恒方程分量为 a(x2) 公式(8)并不完整,仅仅描述了剪应力对ⅹ方向动量累积的贡献。 13动量扩散与机械应力的关系 对剪应力来说,这个“动量通量”,根据牛顿定律可以被认为是应力: F=- d(mv) (9) 因此动量累积速率等同于力,每单位面积的动量累积就是力或剪应力的累积。和机械应力 一样剪应力也是对称张量:rx=但动量通量剪应力张量r与机械应力之间有两点根本 机械应力与动量扩散的符号规定是相反的: (10) 在远古时代,力学工程师与化学工程师都分别蜗居在不同的山洞中,只有看到浓烟信号他 们才会走到一起,所以当他们遇到相同的问题时各自的说法不同,因此公式没有统一的表达 但作为材料工程师,我们却必须将二者统一起来。力学工程师将张力表达为正,压力表达为负 并规定箱子上方x方向大于下方的力称为正应力,即σ、>0。化学工程师认为作用于底部的 力大于顶部的力,从而引起x-动量沿着y轴正方向扩散,即r>0,这意味着x方向的剪应力 r>0时物体处于压缩状态。如图1所示: 剪切力 正应力 图1应力状态的符号规定 由于r是剪应力,又没有偏应力,因此对角线之和为零 +t+t=0 因此,剪应力τ的自由度比机械应力σ的小1(三维中5对6,二维中2对3)。由于自
4 由于热量扩散的存在，守恒方程比较复杂，但是动量密度 ρu 却可以很容易地写出，所以 x 方 向的守恒方程分量为 x y z ( ) xx yx zx ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ = − ∂ ∂ ρ τ τ τ t 剪切 ux （8） 公式（8）并不完整，仅仅描述了剪应力对 x 方向动量累积的贡献。 1.3 动量扩散与机械应力的关系 对剪应力来说，这个“动量通量”，根据牛顿定律可以被认为是应力： dt d(mv) F = ma = （9） 因此动量累积速率等同于力，每单位面积的动量累积就是力或剪应力的累积。和机械应力 一样剪应力也是对称张量： yx zx τ = τ 。但动量通量/剪应力张量τ 与机械应力σ 之间有两点根本 的区别： 1.机械应力与动量扩散的符号规定是相反的： xy xy σ = −τ （10） 在远古时代，力学工程师与化学工程师都分别蜗居在不同的山洞中，只有看到浓烟信号他 们才会走到一起，所以当他们遇到相同的问题时各自的说法不同，因此公式没有统一的表达。 但作为材料工程师，我们却必须将二者统一起来。力学工程师将张力表达为正，压力表达为负， 并规定箱子上方x方向大于下方的力称为正应力，即 > 0 σ yx 。化学工程师认为作用于底部的 力大于顶部的力，从而引起x-动量沿着y轴正方向扩散，即τ yx > 0 ，这意味着x方向的剪应力 τ xx > 0时物体处于压缩状态。如图1所示： 剪切力 正应力 = > 0 yx xy τ τ − = > 0 yy xx τ τ = < 0 σ yx σ xy − = < 0 σ yy σ xx 图1 应力状态的符号规定 由于τ 是剪应力，又没有偏应力，因此对角线之和为零： τ xx +τ yy +τ zz = 0 （11） 因此，剪应力τ 的自由度比机械应力σ 的小 1 （三维中 5 对 6，二维中 2 对 3）。由于自
由度小,必须用P来补充r 0.+O+ (12) 3 在流体系统中,压力是一个附加的标量。 因此,流体剪应力与机械应力的关系为 (13) 其中I是单位矩阵 14斯托克斯流动 压力对动量产生影响是因为压力提供了一个沿着压力梯度方向的推动力。在式8中引入压 力可以得到x方向上动量守恒的完整公式: a(pu ,) ap ar atyr ar. (14) 三个方向的分量合起来可以用一个矢量公式来表示: a(pur) at--vp-v.T+F (15) 式中,F代表体积力,如重力,洛仑兹力等。上式就是斯托克斯流动的流动方程,在低速高粘 度条件下适用 公式15并不完整,矢量方程中只涉及到矢量u、张量r以及标量p和p,而在三维空间 中公式15有3个方程和10个未知数。如果我们把推导方程中的r表示成速度和密度的函数 再加上连续性方程,就可以消去5个未知数。 141的基本方程 可以通过类比溶质扩散和热量扩散的式子2和6求得τ。对于牛顿型流体,剪应力与速度 梯度成线性关系,其斜率为粘度系数η ryx=-7x=-7( (16) 式中,y是剪切形变的速度张量。机械力学研究应力与形变的关系;而由于规定流体没有 场应力,流体动力学研究应力与形变速率的关系。这就是为什么弹性方程表现出波的性质而流 体方程表现出扩散的性质。在括号里的两个偏微分是为了保持剪应力与形变的对称。动量扩散 通量与负的速度梯度成正比:溶质扩散通量与负的浓度梯度成正比,热量通量与负的温度梯度 成正比。对角线应力还有一项,在这里我们就不讨论了,但会出现在推导方程的矢量式中 z=-(V+vu-=V·u) 式中,T是第二个速度梯度外积转置的标记。转置是为了保持对称。 剪切张力是无量纲数,但剪切张力速率的量纲是1时间,所以粘度的量纲是时间×应力
5 由度小，必须用 P 来补充τ ： 3 xx yy zz p σ +σ +σ = − （12） 在流体系统中，压力是一个附加的标量。 因此，流体剪应力与机械应力的关系为： pI σ ij = −τ ij − （13） 其中 I 是单位矩阵。 1.4 斯托克斯流动 压力对动量产生影响是因为压力提供了一个沿着压力梯度方向的推动力。在式 8 中引入压 力可以得到 x 方向上动量守恒的完整公式： x x y z p t ux xx yx zx ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ = − ∂ ∂(ρ ) τ τ τ （14） 三个方向的分量合起来可以用一个矢量公式来表示： p F t ux = −∇ − ∇ ⋅ + ∂ ∂ τ (ρ ) （15） 式中， F 代表体积力，如重力，洛仑兹力等。上式就是斯托克斯流动的流动方程，在低速高粘 度条件下适用。 公式 15 并不完整，矢量方程中只涉及到矢量 u 、张量τ 以及标量 p 和 ρ ，而在三维空间 中公式 15 有 3 个方程和 10 个未知数。如果我们把推导方程中的τ 表示成速度和密度的函数， 再加上连续性方程，就可以消去 5 个未知数。 1.4.1τ 的基本方程 可以通过类比溶质扩散和热量扩散的式子 2 和 6 求得τ 。对于牛顿型流体，剪应力与速度 梯度成线性关系，其斜率为粘度系数η ： ( ) x u y ux y YX yx ∂ ∂ + ∂ ∂ τ = −ηγ& = −η （16） 式中，γ& 是剪切形变的速度张量。机械力学研究应力与形变的关系；而由于规定流体没有 场应力，流体动力学研究应力与形变速率的关系。这就是为什么弹性方程表现出波的性质而流 体方程表现出扩散的性质。在括号里的两个偏微分是为了保持剪应力与形变的对称。动量扩散 通量与负的速度梯度成正比；溶质扩散通量与负的浓度梯度成正比，热量通量与负的温度梯度 成正比。对角线应力还有一项，在这里我们就不讨论了，但会出现在推导方程的矢量式中： u u uI T = − ∇ + ∇ − ∇ ⋅ 3 2 τ η( ） （17） 式中，T 是第二个速度梯度外积转置的标记。转置是为了保持对称。 剪切张力是无量纲数，但剪切张力速率的量纲是 1/时间，所以粘度的量纲是时间×应力
在国际单位制中就是N5=kB。在厘米克秒(cg)中,我们把泊(pose)定义为1=。 水的粘度系数是00 Poise或厘泊( centipoise)。许多流体粘度系数都是以厘泊( centipoise)为 单位的,在国际单位制中厘泊 (centipoise)-=001x3 14.2密度ρ的表达式 密度通常只是压力P的函数。例如理想气体状态方程就给出了十分接近真实值的密度表达 n p (18) 在液相或低速气相流动中(低于3马赫,压力变化不超过绝压平均值的10%),偏差非常小 因而密度可以看为是定值。这个条件对于不可压缩流体来说是充分不必要条件,关于这一点将 在22.1中详细阐述 143质量守恒与连续性方程 与密度和剪应力不一样,压力不能简单地表示成其他变量的函数。但是质量守恒定律可以 求解封闭的斯托克斯流动系统。质量通量是一个乘积项,等于密度与速度的乘积pu(巧合的 是,其也是动量密度):由于相界面以及其他一些因素可能导致平衡系统的密度不均匀,因此密 度梯度本身并不会引起传递,换句话说就是没有“质量扩散”。从质量守恒方程即连续性方程可 以推出质量累积速率等于对流质量通量散度 (19) 通常写为 op+uVppVu=o (20) 如果流体不可压缩,则前两项为零,上式变为 V·tt=0 (21) 144简化的封闭斯托克斯流动方程 付于η与p恒定的牛顿型流体,可以将式15写为 u +nlV2u+v( Vu u)]+F 当流体不可压缩时,ⅴ·u=0,所以剪切张力散度的第二、三项为零;将剩余项除以pρ +2t+ F (23) 参数U=n/是动力学粘度系数,也称作动量扩散系数。由于式22与扩散方程在形式上 很相似,因此动力学粘度系数与热扩散系数a=k/Cp相似。以水为例,它的动力学粘度系数 6
6 在国际单位制中，就是 m s kg m N s 2 ⋅ = ⋅ 。 在厘米-克-秒（cgs）中，我们把泊（poise） 定义为 1 2 cm erg ⋅s 。 水的粘度系数是 0.01poise,或厘泊（centipoise）。许多流体粘度系数都是以厘泊（centipoise）为 单位的，在国际单位制中厘泊（centipoise） =0.001 2 m N ⋅s 。 1.4.2 密度 ρ 的表达式 密度通常只是压力 P 的函数。例如理想气体状态方程就给出了十分接近真实值的密度表达： RT p V n ρ = = （18） 在液相或低速气相流动中（低于 3 马赫，压力变化不超过绝压平均值的 10%），偏差非常小， 因而密度可以看为是定值。这个条件对于不可压缩流体来说是充分不必要条件，关于这一点将 在 2.2.1 中详细阐述。 1.4.3 质量守恒与连续性方程 与密度和剪应力不一样，压力不能简单地表示成其他变量的函数。但是质量守恒定律可以 求解封闭的斯托克斯流动系统。质量通量是一个乘积项，等于密度与速度的乘积 ρu （巧合的 是，其也是动量密度）：由于相界面以及其他一些因素可能导致平衡系统的密度不均匀，因此密 度梯度本身并不会引起传递，换句话说就是没有“质量扩散”。从质量守恒方程即连续性方程可 以推出质量累积速率等于对流质量通量散度： ( u) t ρ ρ = −∇ ⋅ ∂ ∂ （19） 通常写为 + ⋅∇ + ∇ = 0 ∂ ∂ u p u t ρ ρ （20） 如果流体不可压缩，则前两项为零，上式变为： ∇ ⋅ u = 0 （21） 1.4.4 简化的封闭斯托克斯流动方程 对于η 与 ρ 恒定的牛顿型流体，可以将式 15 写为： p u u uI F t u T = −∇ + ∇ + ∇ ⋅ ∇ − ∇ ⋅ ∇ ⋅ + ∂ ∂ ( )] 3 2 [ ( ) 2 ρ η （22） 当流体不可压缩时，∇ ⋅ u = 0 ， 所以剪切张力散度的第二、三项为零；将剩余项除以 ρ ： ρ ν ρ F u p t u + ∇ + ∇ = − ∂ ∂ 2 （23） 参数υ =η ρ 是动力学粘度系数，也称作动量扩散系数。由于式 22 与扩散方程在形式上 很相似，因此动力学粘度系数与热扩散系数 p α = k ρc 相似。以水为例，它的动力学粘度系数
00kg/(ms)=10m2/s 1000kg/m 式21,23组成了不可压缩牛顿型流体在粘度恒定时的斯托克斯流动方程 1.5溶质扩散、热量扩散和动量扩散小结 表一对溶质扩散,热扩散及动量扩散作了小结(括号中的数字是上面公式的编号)。 表1溶质,热量及动量扩散的比较 方程溶质扩散 热量扩散 动量扩散 守恒方程cC=-,万+0 H T =-V·q+q(5) a(our) F ot t t 推导方程(1) (15) q=kVT(6) 扩散系数J=-DVC(2) I=-n(Vu+Vu -=V 扩散方程|D=D T DVC+G =kV2+4(7) (17) 7/p F +2l+ (23) 6例题 16.1库爱特流动 库爱特( Couette)流动是两平行板间流动的简化,即一板运动,一板静止。例如,在两个 大的水平板间有一层lmm厚的水。上板以lcm/s的速度运动。我们讨论两种情况:(1)系统最 终达到的稳态:(2)从静止到稳态过程中的瞬态 稳态稳态时速度的时间导数为零。只要在流动方向上没有体积力或压力差,稳态时式23变 (24) 如果流体只沿着上板移动的方向流动,即ⅹ方向流动,且速度只在垂直平板的方向(y方 向)变化,则上式可化简为随体导数: (25) 通解为: Av+B
7 是 6 2 4 3 10 m /s 1000kg/m 0.001kg/(m s) − = ⋅ 式 21，23 组成了不可压缩牛顿型流体在粘度恒定时的斯托克斯流动方程。 1.5 溶质扩散、热量扩散和动量扩散小结 表一对溶质扩散，热扩散及动量扩散作了小结（括号中的数字是上面公式的编号）。 表 1 溶质，热量及动量扩散的比较 1.6 例题 1.6.1 库爱特流动 库爱特（Couette）流动是两平行板间流动的简化，即一板运动，一板静止。例如，在两个 大的水平板间有一层 1mm 厚的水。上板以 1cm/s 的速度运动。我们讨论两种情况：（1）系统最 终达到的稳态；（2）从静止到稳态过程中的瞬态。 稳态 稳态时速度的时间导数为零。只要在流动方向上没有体积力或压力差，稳态时式 23 变 为 0 2 ∇ u = （24） 如果流体只沿着上板移动的方向流动，即 x 方向流动，且速度只在垂直平板的方向（y 方 向）变化，则上式可化简为随体导数： 0 2 2 = dy d ux （25） 通解为： ux = Ay + B （26） 方程 溶质扩散 热量扩散 动量扩散 守恒方程 推导方程 扩散系数 扩散方程 J G t C = −∇ ⋅ + ∂ ∂ （1） J = −D∇C （2） D=D D C G t C = ∇ + ∂ ∂ 2 （4） q q t T c t H p = −∇ ⋅ + & ∂ ∂ = ∂ ∂ ρ (5) q = −k∇T (6) p α = k ρc p c q k t T ρ & = ∇ + ∂ ∂ 2 （7） p F t ux = −∇ − ∇ ⋅ + ∂ ∂ τ (ρ ) （15） u u uI T = − ∇ + ∇ − ∇ ⋅ 3 2 τ η( （17） υ =η ρ ρ ν ρ F u p t u + ∇ + ∇ = − ∂ ∂ 2 （23）
上式是一维稳态动量扩散的表达式,与稳态溶质扩散及热扩散的表达式相似。 扩散研究的对象一般是通量,而在这里是剪应力(使流体流动每单位面积上需要的力)。剪应力 的表达式为 b=-10N001/ 0.00lm =-0.01 (27) 因为ⅹ方向的动量沿着y轴的负方向扩散,因此剪应力为负。必须对上板施加一个x方向 的力,对下板施加一个x逆方向的力,来维持这个流动场 瞬态现在讨论一下流体刚开始流动时的性质。在t=0时刻,平板与流体均为静态,这时上板 开始以lcm/s的速度在ⅹ方向上运动。假设在ⅹ方向上没有压力梯度或体积力,式23可变为 d-u at 这是基本的扩散方程。当初始条件为速度恒定,且边界条件是y=lmm,在短的时间间隔内 上式的解为 erfc( 在y=0处速度接近于零时上式成立。已知erfc(2)=0.005,我们可以将erfc(2)作为判断的标准 令 (y=0时) 2√vt 从上式求t得 (31) 到目前为止,误差函数方法还是有效的。 这个时间间隔与溶质扩散时间间隔一样,是长度的平方除以动量扩散系数。事实上,对于 溶质或热量扩散,我们可以用“较长时间”表达式 来近似等于上面稳态解成立的时间,在这里是(001)2/(10°m2/s)=1秒。 在t=0时刻,初始条件与边界条件的单一性导致了剪应力的单一性。在t=0时刻,erfc函数在 y=lmm处的导数是无穷大的,从而需要一个无穷大的剪应力来使速度从0阶跃到lcm/s。剪应 力可以表示为1/√t,所以时间积分和每单位面积的脉冲是有限的。只要电动机能够提供一个相 对于稳态很大的动力,边界条件就会被近似满足,从而erfe的解基本正确 16.2由于重力作用沿着倾斜面的流动 (这部分参见 DR Poirier与 G.H. Geiger合编的“ Transport Phenomena in Materials Processing”的第二章) 8
8 上式是一维稳态动量扩散的表达式，与稳态溶质扩散及热扩散的表达式相似。 扩散研究的对象一般是通量，而在这里是剪应力（使流体流动每单位面积上需要的力）。剪应力 的表达式为： 2 2 3 0.01 0.001 0.01 / 10 m N m m s m N s y ux YX = − ⋅ = − ∂ ∂ = − − τ η （27） 因为 x 方向的动量沿着 y 轴的负方向扩散，因此剪应力为负。必须对上板施加一个 x 方向 的力，对下板施加一个 x 逆方向的力，来维持这个流动场。 瞬态 现在讨论一下流体刚开始流动时的性质。在 t=0 时刻，平板与流体均为静态，这时上板 开始以 1cm/s 的速度在 x 方向上运动。假设在 x 方向上没有压力梯度或体积力，式 23 可变为 2 2 dy d u t ux x =ν ∂ ∂ （28） 这是基本的扩散方程。当初始条件为速度恒定，且边界条件是 y=1mm，在短的时间间隔内， 上式的解为： ) 2 1 1 ( t mm y erfc s cm ux ν − = × （29） 在 y=0 处速度接近于零时上式成立。已知 erfc(2)=0.005,我们可以将 erfc(2)作为判断的标准： 令 2 2 t 1 = − ν mm y （y=0 时） （30） 从上式求 t 得 16ν (1 ) 2 mm t = （31) 到目前为止，误差函数方法还是有效的。 这个时间间隔与溶质扩散时间间隔一样，是长度的平方除以动量扩散系数。事实上，对于 溶质或热量扩散，我们可以用“较长时间”表达式： ν 2 ~ L t (32) 来近似等于上面稳态解成立的时间，在这里是(0.001 ) (10 / ) 1 2 6 2 m m s = 秒 。 在 t=0 时刻，初始条件与边界条件的单一性导致了剪应力的单一性。在 t=0 时刻，erfc 函数在 y=1mm 处的导数是无穷大的，从而需要一个无穷大的剪应力来使速度从 0 阶跃到 1cm/s。剪应 力可以表示为1 t ，所以时间积分和每单位面积的脉冲是有限的。只要电动机能够提供一个相 对于稳态很大的动力，边界条件就会被近似满足，从而 erfc 的解基本正确。 1.6.2 由于重力作用沿着倾斜面的流动 （这部分参见 D.R.Poirier 与 G.H.Geiger 合编的“Transport Phenomena in Materials Processing” 的第二章）
16.3绕过球体的流动 个半径为R的实心球以相对于流体的速度Ⅴ在流体中运动。若以球体为参照系,则球 是静止的,而离球体较远的流体则以相同的速度运动,靠近球体的流速却比较小,甚至在球体 表面的速度为零。 在球坐标中,r是距球心的距离,O是流动场对称轴的纬度角(因此静止时θ=丌),φ是 圆心角。在球坐标中,稳态流速与压力是 V1 3R,1(R 2r 4r4(r p=po-pgh--n 式中,h是重力的反方向 以上各式可以用来计算流体对球体施加的曳力,以及球体对流体的曳力。总应力的法向量 是牵引力t ·n+ 这是固体表面对流体在每单位面积上施加的力。对其积分可求出固体对流体所施加的合力 因此,加上负号之后就变为对固体的曳力。 +pn ) dA 当z=0且a/=0时,积分得 0+prlA=6rnRV (38) 式中z是θ=0的方向,即流动方向。 17练习 证明163节中绕球体做斯托克斯流动的流体速度场及压力场(即式33到35)也满足在球体 坐标系中的斯托克斯方程 2证明163节在球体表面,即r=R处,由速度场给出的剪应力与压力积分后可得到式38 3式37中给出的绕球体流动的总曳力等于浮力(液固密度差乘以球体体积),从而解出在斯托 克斯流动中上浮或者下沉的球形颗粒的最终速度 随体导数及奈维-斯托克斯方程 对流传递包括由于物体相对于参照系的运动而引起的溶质、热量、质量及动量传递。在流 体系统中,对流传递相对于只有扩散来说增强了传递速率。人们一般不用对流来描述固体的传 9
9 1.6.3 绕过球体的流动 一个半径为 R 的实心球以相对于流体的速度 V∞ 在流体中运动。若以球体为参照系，则球 是静止的，而离球体较远的流体则以相同的速度运动，靠近球体的流速却比较小，甚至在球体 表面的速度为零。 在球坐标中，r 是距球心的距离，θ 是流动场对称轴的纬度角（因此静止时θ =π ），φ 是 圆心角。在球坐标中，稳态流速与压力是 cosθ r R 2 1 r R 2 3 u V 1 3 r ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∞ − + (33) θ sinθ r R 4 1 r R 4 3 u V 1 3 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − ∞ − − (34) ρ η cosθ r R R V 2 3 p p gh 2 0 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − ∞ (35) 式中，h 是重力的反方向 以上各式可以用来计算流体对球体施加的曳力，以及球体对流体的曳力。总应力的法向量 是牵引力 t 。 t = τ ⋅ nˆ + pnˆ (36) 这是固体表面对流体在每单位面积上施加的力。对其积分可求出固体对流体所施加的合力。 因此，加上负号之后就变为对固体的曳力。 F = −∫ 球面 ( ) τ ⋅ nˆ + pnˆ dA (37) 当 0 r 0 τ rφ = 且∂ ∂φ = 时，积分得 ( ) prˆ dA 6 RV zˆ ˆ F rˆ 0 d rr r ∞ = = − + + = ∫ τ τ θ πη π θ θ (38) 式中 zˆ 是θ = 0 的方向，即流动方向。 1.7 练习 1 证明 1.6.3 节中绕球体做斯托克斯流动的流体速度场及压力场（即式 33 到 35）也满足在球体 坐标系中的斯托克斯方程。 2.证明 1.6.3 节在球体表面，即 r=R 处，由速度场给出的剪应力与压力积分后可得到式 38 3.式 37 中给出的绕球体流动的总曳力等于浮力（液固密度差乘以球体体积），从而解出在斯托 克斯流动中上浮或者下沉的球形颗粒的最终速度。 2 随体导数及奈维-斯托克斯方程 对流传递包括由于物体相对于参照系的运动而引起的溶质、热量、质量及动量传递。在流 体系统中，对流传递相对于只有扩散来说增强了传递速率。人们一般不用对流来描述固体的传
递。但是在很多情况下,定义一个相对于固体的动态参照系却很方便,而且在此参照系中,分 析方法同前。 这节首先将会介绍固体中的对流传递与随体导数,然后讨论在流体中的应用。这将会引出 质量和动量守恒方程中的对流项以及流体性质的N-S方程。雷诺数描述了流动方程中对流项及 扩散项的相对重要性。如果雷诺数很小,我们就可以忽略对流项而使用14节的斯托克斯方程 若雷诺数很大则非线性对流项就会使流体不稳定而引起湍流。以上这些内容都将在本节中讨论 21随体导数 在一个相对于我们的参照系静止的物质中,扩散方程与式1到式4相似。等号左侧对时间 的偏微分导数描述了空间固定一点的浓度随时间的变化。现在讨论二维的情况(三维时很复杂), 偏微分的定义为 lim C(xy,t+△t)-C(x,y,t) (39) t At→0 如果研究的点相对于我们的参照系是运动的,则我们不用偏微分而只需求出新的状态与初 始状态的差别。因此,定义随体导数: DC ≡lim C(x+△x,y+△y,t+△t)-C(x,y,) (40) 忽略高于一阶的项得 Cx+△xy+△yt+△t)-Cxy=△tly△t△t t)△C△x △CA+AC (41) 颗粒的运动速度为 u = lim (42) At-+0 At y At-+0 At 因此,当式41中的At→0时可得 DC aC +u +u·VC (43) 这个随体导数将会替代传递方程中对时间的偏导数 可以从另一个角度,用溶质的对流通量来讨论这个问题。单位面积单位时间内传递的溶质 的量是速度与浓度的乘积uC。因此由对流通量引起的累积速率是这个通量散度的相反数 v.(c).将它与4式联立得 v juc)+ 将对流项移到方程的左边展开得 +u vc+Cv.u=DVC+g (45)
10 递。但是在很多情况下，定义一个相对于固体的动态参照系却很方便，而且在此参照系中，分 析方法同前。 这节首先将会介绍固体中的对流传递与随体导数，然后讨论在流体中的应用。这将会引出 质量和动量守恒方程中的对流项以及流体性质的 N-S 方程。雷诺数描述了流动方程中对流项及 扩散项的相对重要性。如果雷诺数很小，我们就可以忽略对流项而使用 1.4 节的斯托克斯方程。 若雷诺数很大则非线性对流项就会使流体不稳定而引起湍流。以上这些内容都将在本节中讨论 到。 2.1 随体导数 在一个相对于我们的参照系静止的物质中，扩散方程与式 1 到式 4 相似。等号左侧对时间 的偏微分导数描述了空间固定一点的浓度随时间的变化。现在讨论二维的情况（三维时很复杂）， 偏微分的定义为： ( ) ( ) t C x, y,t t C x, y,t lim t C t 0 ∆ + ∆ − = ∂ ∂ ∆ → (39) 如果研究的点相对于我们的参照系是运动的，则我们不用偏微分而只需求出新的状态与初 始状态的差别。因此，定义随体导数： ( ) ( ) t C x x, y y,t t C x, y,t lim Dt DC t 0 ∆ + ∆ + ∆ + ∆ − ≡ ∆ → （40） 忽略高于一阶的项得： ( )( ) t C t y y C t x x C t C x x, y y,t t C x, y,t ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆ ∆ ≈ ∆ + ∆ + ∆ + ∆ − （41） 颗粒的运动速度为： t x u lim t 0 x ∆ ∆ = ∆ → ， t y u lim t 0 y ∆ ∆ = ∆ → （42） 因此，当式 41 中的 ∆t → 0时 可得： u C t C y C u x C u t C Dt DC x y + ⋅∇ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = （43） 这个随体导数将会替代传递方程中对时间的偏导数。 可以从另一个角度，用溶质的对流通量来讨论这个问题。单位面积单位时间内传递的溶质 的量是速度与浓度的乘积 uC 。 因此由对流通量引起的累积速率是这个通量散度的相反数， − ∇ ⋅(uC)。将它与 4 式联立得 ( ) uC D C G t C 2 = −∇ ⋅ + ∇ + ∂ ∂ (44) 将对流项移到方程的左边展开得 u C C u D C G t C 2 + ⋅∇ + ∇ ⋅ = ∇ + ∂ ∂ (45)
