第三章模态分析 3.1为什么要计算固有频率和模态 )评估结构的动力学特性。如安装在结构上的旋转设备,为避免其过大的振动,必须 看转动部件的频率是否接近结构的任何一阶固有频率 2)评估载荷的可能放大因子。 3)使用固有频率和正交模态,可以指导后续动态分析(如瞬态分析、响应谱分析、瞬 态分析中时间步长M的选取等) 4)使用固有频率和正交模态,在结构瞬态分析时,可以用模态扩张法 5)指导实验分析,如加速度传感器的布置位置 6)评估设计 3.2模态分析理论 考虑 IM]{x}+[K{x}=0 假设其解为 lot e 代入得到特征方程 (K]-)M]){φ}=0 det(K]-^[M])=0 其中,A=O2 1)对N自由度系统,有N个固有频率(,j=1,2,…,N),特征频率,基本频率或共 振频率 2)与固有频率ω,对应的特征向量称为自然模态或模态形状,模态形状对应于结构扰 度图 3)当结构振动时,在任意时刻,结构的形状为它的模态的线性组合
第三章 模态分析 3.1 为什么要计算固有频率和模态 1） 评估结构的动力学特性。如安装在结构上的旋转设备，为避免其过大的振动，必须 看转动部件的频率是否接近结构的任何一阶固有频率。 2） 评估载荷的可能放大因子。 3） 使用固有频率和正交模态，可以指导后续动态分析（如瞬态分析、响应谱分析、瞬 态分析中时间步长 t 的选取等） 4） 使用固有频率和正交模态，在结构瞬态分析时，可以用模态扩张法 5） 指导实验分析，如加速度传感器的布置位置。 6） 评估设计 3.2 模态分析理论 考虑 假设其解为 代入得到特征方程 或 其中， 2 = 1） 对 N 自由度系统，有 N 个固有频率（ j ，j=1,2,…,N）,特征频率，基本频率或共 振频率。 2） 与固有频率 j 对应的特征向量称为自然模态或模态形状，模态形状对应于结构扰 度图 3） 当结构振动时，在任意时刻，结构的形状为它的模态的线性组合
例子 Simply Supported Beam Mode 1 Mode 2 2 Mode 3 3.3自然模态与固有频率性质 (1)正交性 {中;}M3=0 fi≠ {q;}K1{q}=0 fi≠j 中;}"IMφ;} (2)o,的单位 O,单位为ad也可以表示为H( cycles/ seconds),二者换算关系为 O: ( radian/second f her 2π
例子： 3.3 自然模态与固有频率性质 （1） 正交性 （2） j 的单位 j 单位为rad/s, 也可以表示为Hz (cycles/seconds),二者换算关系为
(3)刚体模态 图为一未约束结构,有刚体模态 如果结构完全未约束,有刚体模态存在(应力-自由模态)或机构运动,至少有一固有频率 为0 (4)自然模态的倍数依然为自然模态 10.5 150/191}=/0.66 300 0.33 代表相同的振动模态 (5)模态的标准化 }M{;}=1.0
（3）刚体模态 图为一未约束结构，有刚体模态 如果结构完全未约束，有刚体模态存在（应力-自由模态）或机构运动，至少有一固有频率 为 0。 （4）自然模态的倍数依然为自然模态 如： 代表相同的振动模态 （5）模态的标准化
3.4模态能量 (1)应变位移关系 ie = iUliu (2)应力应变关系 (3)静力-位移关系 P+}=|K{u} (4)单元应变能 V=1/2{u}[K ee l{u。} 因此,对给定的模态位移 模态应变为 { IKu{中;}} 模态应力为 o};={ Koell keyl{9;}} 模态力为 P};={K{;}}与 模态应变能为 K。。9 35特征值解法 对于方程 (K]-AM]){φ}=0 MSC/NASTRAN提供三类解法 a)跟踪法( Tracking method) b)变换法( Tromsformation method) c)兰索士法( Lanczos method)
3.4 模态能量 （1）应变-位移关系 （2）应力-应变关系 （3）静力-位移关系 （4）单元应变能 因此，对给定的模态位移 模态应变为 模态应力为 模态力为 模态应变能为 3.5 特征值解法 对于方程 MSC/NASTRAN 提供三类解法 a) 跟踪法 （Tracking method） b) 变换法 （Tromsformation method） c) 兰索士法（Lamczos method）
351跟踪法 跟踪法解特征值问题,实质是迭代法。 对仅求几个特征值(或固有频率)的问题是一种方便方法。 MSCINASTRAN中,提供两种迭代解法,即为逆幂法(INV)和移位逆幂 法(SINV) 前者存在丢根现象;后者采用 STRUM系列,避免丢根,改善收敛性 逆幂法和移位逆幂法均用模型数据卡EIGR来定义,并用情况控制指令 METHOD来选取。 352变换法 特征方程变换为: [A]φ$}=λ{} 式中矩阵[A]是用 Givens法或 Householder法变换得到的三角矩阵,一次求 解可得全部特征值 对于维数小、元素满的矩阵,且需求全部或大部分特征值问题十分有效; MSC/NASTRAN提供 Givens法(GIV)和修正MGIV法; MSCINASTRAN提供郝斯厚德(HOU法和修正郝斯厚德(MHOU法 吉文斯(GIV)法和郝斯厚德(HOU)法要求[M矩阵正定;修正吉文斯法 (MGⅠV)与修正的郝斯厚德法(MHOU)允许国M是奇异的,从而可求解刚体模态 变换法用模型数据卡EIGR来描述,用情况控制 METHOD选取。 533兰索士Lanz0s法 兰索士( Lanczos)法是一种将跟踪法和变换组合起来的新的特征值解法; 对计算非常大的稀疏矩阵几个特征值问题最有效; 兰索士法用模型数据卡 EIGRL描述,用情况控制 METHOD选取。 534特征值方法比较 上面介绍特征值解法各有用处。比较而言,兰索士法首先推荐的 变换法 跟踪法 兰索士法
3.5.1 跟踪法 跟踪法解特征值问题，实质是迭代法。 对仅求几个特征值（或固有频率）的问题是一种方便方法。 MSC/NASTRAN 中，提供两种迭代解法，即为逆幂法（INV）和移位逆幂 法（SINV） 前者存在丢根现象；后者采用 STRUM 系列，避免丢根，改善收敛性。 逆幂法和移位逆幂法均用模型数据卡 EIGR 来定义，并用情况控制指令 METHOD 来选取。 3.5.2 变换法 特征方程变换为： [A]{} = {} 式中矩阵[A]是用 Givens 法或 Householder 法变换得到的三角矩阵，一次求 解可得全部特征值。 对于维数小、元素满的矩阵，且需求全部或大部分特征值问题十分有效； MSC/NASTRAN 提供 Givens 法（GIV）和修正 MGIV 法； MSC/NASTRAN 提供郝斯厚德(HOU)法和修正郝斯厚德(MHOU)法； 吉文斯（GIV）法和郝斯厚德 (HOU) 法要求[M]矩阵正定；修正吉文斯法 （MGIV）与修正的郝斯厚德法(MHOU)允许[M]是奇异的，从而可求解刚体模态； 变换法用模型数据卡 EIGR 来描述，用情况控制 METHOD 选取。 5.3.3 兰索士(Lanczos)法 兰索士(Lanczos)法是一种将跟踪法和变换组合起来的新的特征值解法; 对计算非常大的稀疏矩阵几个特征值问题最有效; 兰索士法用模型数据卡 EIGRL 描述，用情况控制 METHOD 选取。 5.3.4 特征值方法比较 上面介绍特征值解法各有用处。比较而言，兰索士法首先推荐的 变换法 跟踪法 兰索士法
最有效的应用 小的密的矩阵 大而稀疏的矩阵非常大的特 许多特征值 许多特征值 征值问题 HOU MHOU INV SINV 会丢根吗? GIV MGIV 不会 不会 不会 会 不会 允许奇异质量 是 是 是 是 矩阵吗 得到的特征值一次求解得全部特征值一个,接近移位点几个,接近 数量 移位点 计算量级 NBE NB. B2E N为刚度矩阵的维数,B为半带宽,E为特征值个数 5.3.5 Lanczos法卡片 EIGRL SID V1 V2 ND MSGLVLIMAXSETI SHFSCL NORM EIGRL 032 Field c。 ntents Set identification number (unique integer >0 1,v2 Vibration analysis: Frequency range of interest Buckling analysis: range of interest(v10 or blank) MSGLVL Diagnostic level (integer 0 through 3 or blank) MAXSET Number of vectors in block or set (integer 1 through 15 or blank) SHESCL Estimate of the first flexible mode natural frequency (real。 r blank) NORM Method of normalization MASS OR MAX)
最有效的应用 小的密的矩阵 许多特征值 大而稀疏的矩阵 许多特征值 非常大的特 征值问题 会丢根吗？ HOU GIV MHOU MGIV INV SINV 不会 不会 不会 会 不会 允许奇异质量 矩阵吗？ 否 是 是 是 是 得到的特征值 数量 一次求解得全部特征值 一个，接近移位点 几个，接近 移位点 计算量级 3 N NB E 2 NB E 2 N 为刚度矩阵的维数，B 为半带宽，E 为特征值个数 5.3.5 Lanczos法卡片
5.3.6模态分析求解控制 (1)执行控制 SOL 103 (2)情况控制 METHOD (required-selects EIGRL entr (3)数据模型 EIGRL (Lanczos method (4)输出控制 a)结点输出 DISPLACEMENT (or VECTOR) PFORCE GPSTRESS SPCFORCE b)单元输出 ELSTRESS (or STRESS ESE ELFORCE(or FORCE) STRAIN c)其他 MODES- results for each eigenvalue treated as separate subcase 5.3.7模态分析例子 问题:平板的模态分析 (1)结点与单元 (2)载荷与边界条件
5.3.6 模态分析求解控制 （1） 执行控制 （2） 情况控制 （3） 数据模型 （4）输出控制 a)结点输出 b)单元输出 c)其他 5.3.7 模态分析例子 问题：平板的模态分析 （1）结点与单元 （2） 载荷与边界条件
(3)材料与几何 Length(a) 5 In Height( b) Thickness 0.100in Weight Density 0.282|bsin3 Mass/eight Factor 2. 59E-3 sec/in Elastic Modulus 30.0E6 Ibs/in2 Poisson's Ratio 0.3 (4)输入文件 (a)几何模型文件p1 ate. bdf s geometric input file for plate model PSHELL 11.111 cUAD431341514 CQUAD44145161 CQUAD461671817 818920 CQUAD4919102120 CQUAD410110112221 CQUAD411112132423 1131425 13114152625 14115162726 CQUAD415116172827 CQUAD416117182928 CQUAD418119203130 CQUAD41912021323 20121223332 cQUA421123243534 CqUAD423125263736
（3）材料与几何 （4）输入文件 （a）几何模型文件plate.bdf $ geometric input file for plate model PSHELL 1 1 .1 1 1 CQUAD4 1 1 1 2 13 12 CQUAD4 2 1 2 3 14 13 CQUAD4 3 1 3 4 15 14 CQUAD4 4 1 4 5 16 15 CQUAD4 5 1 5 6 17 16 CQUAD4 6 1 6 7 18 17 CQUAD4 7 1 7 8 19 18 CQUAD4 8 1 8 9 20 19 CQUAD4 9 1 9 10 21 20 CQUAD4 10 1 10 11 22 21 CQUAD4 11 1 12 13 24 23 CQUAD4 12 1 13 14 25 24 CQUAD4 13 1 14 15 26 25 CQUAD4 14 1 15 16 27 26 CQUAD4 15 1 16 17 28 27 CQUAD4 16 1 17 18 29 28 CQUAD4 17 1 18 19 30 29 CQUAD4 18 1 19 20 31 30 CQUAD4 19 1 20 21 32 31 CQUAD4 20 1 21 22 33 32 CQUAD4 21 1 23 24 35 34 CQUAD4 22 1 24 25 36 35 CQUAD4 23 1 25 26 37 36
CQUAD424126273837 CQUAD427129304140 CQUAD429131324342 CQUAD430132334443 32135364746 34137384948 cuAD435138395049 94051 CQUAD4371404152§1 CQUAD439142435453 CQUAD440143445554 MAT113.+7.3.282 GRID10.0.0 GRTD31.0.0 DDD 52.0.0 62.50.0 GRTD83.50.0 94.0.0 GRTD104.50.0 GRTD13.5.50 GRID 15 5 GRTD162..50 GRTD183..50 GRTD193.5.50 GRTD204..5 GRTD214.5.50 GRTD251.1.0 GRTD261.51.0 GRID282.51.0 GRTD303.51.0 GRTD324.51.0. GRTD335.1.0 GRTD3551.50
CQUAD4 24 1 26 27 38 37 CQUAD4 25 1 27 28 39 38 CQUAD4 26 1 28 29 40 39 CQUAD4 27 1 29 30 41 40 CQUAD4 28 1 30 31 42 41 CQUAD4 29 1 31 32 43 42 CQUAD4 30 1 32 33 44 43 CQUAD4 31 1 34 35 46 45 CQUAD4 32 1 35 36 47 46 CQUAD4 33 1 36 37 48 47 CQUAD4 34 1 37 38 49 48 CQUAD4 35 1 38 39 50 49 CQUAD4 36 1 39 40 51 50 CQUAD4 37 1 40 41 52 51 CQUAD4 38 1 41 42 53 52 CQUAD4 39 1 42 43 54 53 CQUAD4 40 1 43 44 55 54 MAT1 1 3.+7 .3 .282 GRID 1 0. 0. 0. GRID 2 .5 0. 0. GRID 3 1. 0. 0. GRID 4 1.5 0. 0. GRID 5 2. 0. 0. GRID 6 2.5 0. 0. GRID 7 3. 0. 0. GRID 8 3.5 0. 0. GRID 9 4. 0. 0. GRID 10 4.5 0. 0. GRID 11 5. 0. 0. GRID 12 0. .5 0. GRID 13 .5 .5 0. GRID 14 1. .5 0. GRID 15 1.5 .5 0. GRID 16 2. .5 0. GRID 17 2.5 .5 0. GRID 18 3. .5 0. GRID 19 3.5 .5 0. GRID 20 4. .5 0. GRID 21 4.5 .5 0. GRID 22 5. .5 0. GRID 23 0. 1. 0. GRID 24 .5 1. 0. GRID 25 1. 1. 0. GRID 26 1.5 1. 0. GRID 27 2. 1. 0. GRID 28 2.5 1. 0. GRID 29 3. 1. 0. GRID 30 3.5 1. 0. GRID 31 4. 1. 0. GRID 32 4.5 1. 0. GRID 33 5. 1. 0. GRID 34 0. 1.5 0. GRID 35 .5 1.5 0
GRTD361.1.50 GRTD371.51.50 GRID382.1.50 GRTD392.51.50 GRTD413.51.50 GRTD434.51.50 GRTD4652.0 GRID 47 1 GRID 48 GRTD492.2.0. GRID513.2.0 RTD523.52.0 GRTD534.2.0 GRID544.52.0 sPc1112345112233445 (b) Nastran输入文件 ID SEMINAR, PROB1 TITLE E NORMAL MODES EXAMPLE ECHO E UNSORTED SUBTITLE= US ING LANCZOS SPC 1 BEGIN BULK PARAM COUPMA SS 1 PARAM WTMASS00259 CQUAD411121312 =,★1,=,★1,★1,*1,*1 cQUA411112132423 ★1,*1,*1,*1 CQUAD421123243534
GRID 36 1. 1.5 0. GRID 37 1.5 1.5 0. GRID 38 2. 1.5 0. GRID 39 2.5 1.5 0. GRID 40 3. 1.5 0. GRID 41 3.5 1.5 0. GRID 42 4. 1.5 0. GRID 43 4.5 1.5 0. GRID 44 5. 1.5 0. GRID 45 0. 2. 0. GRID 46 .5 2. 0. GRID 47 1. 2. 0. GRID 48 1.5 2. 0. GRID 49 2. 2. 0. GRID 50 2.5 2. 0. GRID 51 3. 2. 0. GRID 52 3.5 2. 0. GRID 53 4. 2. 0. GRID 54 4.5 2. 0. GRID 55 5. 2. 0. SPC1 1 12345 1 12 23 34 45 （b）Nastran输入文件 ID SEMINAR, PROB1 SOL 103 TIME 600 CEND TITLE = NORMAL MODES EXAMPLE ECHO = UNSORTED SUBCASE 1 SUBTITLE= USING LANCZOS METHOD = 1 SPC = 1 VECTOR=ALL BEGIN BULK PARAM COUPMASS 1 PARAM WTMASS .00259 EIGRL 1 10 0 PSHELL 1 1 .1 1 1 CQUAD4 1 1 1 2 13 12 =,*1,=,*1,*1,*1,*1 =8 CQUAD4 11 1 12 13 24 23 =,*1,=,*1,*1,*1,*1 =8 CQUAD4 21 1 23 24 35 34 =,*1,=,*1,*1,*1,*1