中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 m()≤F(1)(1-F() 下面是重要的更新方程。 定理:t≥0,m(1)满足下列更新方程: =F()+m(t-)dF(u) 证明:由m(t)=∑Fn(1),得: m(t)=F(1)+∑F(t) 将F()=JF1(-)dF()(n≥2)代入上式,即有所要的结果。 令 m(s) dm(t) F(s) 则有 m m(s) 1-F(s) 1+m(s) 证明:记:4(=m0(称为更新强度函数),由m)=∑F1(), 可得 两边取 Laplace变换,有: ∫nA()e"dt=m(s)=∑Je"d() 由F(s)=JedF()及F=Fn*F,根据卷积的 Laplace变换的性 质,有:中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 1 ( ) ( )(1 ( ))− m t  F t − F t 下面是重要的更新方程。 定理： t  0 ， m(t) 满足下列更新方程： = +  − t m t F t m t u dF u 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 证明：由   = = 1 ( ) ( ) n n m t F t ，得：   = = + 2 ( ) ( ) ( ) n n m t F t F t 将 ( ) ( ) ( ) ( 2) 0 F t =  F −1 t − u dF t n  t n n 代入上式，即有所要的结果。 令： ( ) ( ) ~ 0 m s e dm t st   − = ( ) ( ) ~ 0 F s e dF t st   − = 则有： ( ) ~ 1 ( ) ~ ( ) ~ , ( ) ~ 1 ( ) ~ ( ) ~ m s m s F s F s F s m s + = − = 证明：记： dt dm t t ( ) ( ) = （称为更新强度函数），由   = = 1 ( ) ( ) n n m t F t ， 可得：    =  = = = = 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n f t dt dF t dt dm t  t 两边取 Laplace 变换，有：    =  −  − = = 1 0 0 ( ) ( ) ~ ( ) n n st st  t e dt m s e dF t 由 ( ) ( ) ~ 0 F s e dF t st   − = 及 F n = F n−1  F ，根据卷积的 Laplace 变换的性 质，有：