(4)0,无穷小数列;(5)0,无穷小数列;(6)1:(7)1 2收敛数列的性质 1、(1)一;(2)0:(3)-:(4) (5)10:(6)2 、(1)1:(2)2:(3)3;(4)1:(5)0:(6)1。 8、(1)0(提示:先证320~4n+1 (2)1(提示:n<∑p<(m-2)n-2)+(n-1)+1<2(m-1)+n) (3)0(提示:先证明0(n+1)2-n≤m1) (fa(提示:记P=(1+aX1+a)2…(1+a),则(-a)pn=1-a2)。 §3数列极限存在的条件 1、(1)-;(2)e;(3)e:(4)√e;l 3、(1)2:(2)(1+√1+4c):(3)0 总练习题 1、(1)3:(2)0:(3)0 典型习题解答 (§1第2(1)题)按E-N定义证明:im-n=1 n→∞n+1 证明:由于 <,所以对于任给的E>0,取N=一]+1,则当n>N时 n+1 n+1 n —,KE,所以m =1。 n+1 2、(§1第4题)证明:若lman=a,则对任一正整数k,有 lim a+k=a 证明:若lman=a,则由定义知:任给E>0,存在N,当nN时,|an-a<E。于 是当nN时,n+k>n>N,所以ank-a<E,故man+k=a 3、(§2第1(4)题)lim(√n2+n-n)。 (√n2+n-n)=lim +n+n7 （4）0，无穷小数列；（5）0，无穷小数列；（6）1；（7）1。 §2 收敛数列的性质 1、（1） 4 1 ；（2）0；（3） 3 1 ；（4） 2 1 ；（5）10；（6）2。 4、（1）1；（2）2；（3）3；（4）1；（5）0；（6）1。 8、（1）0（提示：先证明 n n 2 2 1 4 3 2 1 −  < 2 1 1 n + ）； （2）1（提示： ! ! ( 2)( 2)! ( 1)! ! 2( 1)! ! 1 n p n n n n n n n p    − − + − +  − + = ）； （3）0（提示：先证明 0< 1 ( 1) − + −     n n n ）； （4） 1− 1 （提示：记 n pn 2 2 = (1+)(1+) (1+) ，则 1 2 (1 ) 1 + − = − n  pn  ）。 §3 数列极限存在的条件 1、（1） e 1 ；（2）e；（3）e；（4） e ；1。 3、（1）2；（2） 2 1 (1+ 1+ 4c) ；（3）0。 总练习题 1、（1）3；（2）0；（3）0。 典型习题解答 1、（§1 第 2（1）题）按ε—N 定义证明： n→ lim n +1 n =1 证明：由于| n +1 n -1|= 1 1 n + < n 1 ，所以对于任给的   0 ，取 N=[  1 ]+1，则当 n>N 时， | n +1 n |<  ，所以 n→ lim n +1 n =1。 2、（§1 第 4 题）证明：若 n→ lim n a = a，则对任一正整数 k，有 n→ lim n k a + = a。 证明：若 n→ lim n a = a，则由定义知：任给   0 ，存在 N，当 n>N 时，| n a - a|<  。于 是当 n>N 时，n+k>n>N，所以| n k a + -a|<  ，故 n→ lim n k a + = a。 3、（§2 第 1（4）题） n→ lim ( ) 2 n + n − n 。 解： n→ lim ( ) 2 n + n − n = n→ lim n n n n + + 2 = 1 1 1 1 + + n = 2 1