(7)若lmb=a(b)0),则lnbn=a (8)若ln(anan-1)=d,则m n 5、证明:若{an}为递增数列,{bn}为递减数列,且lmn(an-bn)=0, 则lma与lmb都存在且相等 设数列{an}满足:存在正数M,对一切n有 An=a2-a1|+|a3-a2|+…+|an-an1|≤M 证明:数列{an}与{An}都收敛 证明:数列{an}收敛,且其极限为√σ。 8、设a>b>0,记 a+ 2 证明:数列{an}与{bn}的极限都存在且等于√ab1。 9、按柯西收敛准则叙述数列{an}发散的充要条件,并用它证明下列数列{an}是发散 (1)a2-(-1yn;(2)a=smx;(3)a-1+1+…+1 S,=max a,, b), T,=min(a,, b),n=1,2, 证明:(1)mSn=max{a,b};(2) lim t=min{a,b} 提示:参考第一章总练习题1。 习题答案 §1数列极限概念 3、(1)0,无穷小数列:(2)1;(3)0,无穷小数列6 （7）若 n→ lim n n b b +1 = a（ n b >0），则 n→ lim n bn = a； （8）若 n→ lim （ n a - n−1 a ）= d，则 n→ lim n an = d。 5、证明：若{ n a }为递增数列，{ n b }为递减数列，且 n→ lim （ n a - n b ）=0， 则 n→ lim n a 与 n→ lim n b 都存在且相等。 6、设数列{ n a }满足：存在正数 M，对一切 n 有 | | | | | | An = a2 − a1 + a3 − a2 ++ an − an−1 ≤M。 证明：数列{ n a }与{ An }都收敛。 7、设 a>0，σ>0， 1 a = ( ) 2 1 a a  + ， ( ) 2 1 1 n n n a a a  + = + ，n=1，2，…。 证明：数列{ n a }收敛，且其极限为  。 8、设 1 a > 1 b >0，记 n a = 2 an−1 + bn−1 ， n b = 1 1 2 1 1 − − − − n + n n n a b a b ，n=2，3，…。 证明：数列{ n a }与{ n b }的极限都存在且等于 a1b1 。 9、按柯西收敛准则叙述数列{ n a }发散的充要条件，并用它证明下列数列{ n a }是发散 的： （1） n a = n n (−1) ；（2） n a = 2 sin n ；（3） n a = n 1 2 1 1+ ++ 。 10、设 n→ lim n a = a， n→ lim n b = b。记 n S = max{ n a ， n b }，Tn = min{ n a ， n b }，n=1，2，…。 证明：（1） n→ lim n S = max{ a ，b }；（2） n→ lim Tn = min{ a ，b }。 提示：参考第一章总练习题 1。 习题答案 §1 数列极限概念 3、（1）0，无穷小数列；（2）1；（3）0，无穷小数列；