12、设{an}为有界数列,记 =sup{an,an+,…)},an=inf{an,ant,…} 证明:(1)对任何正整数n,an≥an; (2){an}为递减有界数列,{an}为递增有界数列,且对任何正整数n,m有an≥am; (3)设an和an分别是{an}和{an}的极限,则a≥a; (4){an}收敛的充要条件是 总练习题 求下列数列的极限 (1)lmm3+3”:(2)lm":(3)lm(m+2-2√m+1+n) 2、证明: (1)imn2q"=0(k1):(2) lim lg n=0(a≥1);(3)lm 3、设lma=a,证明: (1)ma+a2+、、×=a(又问由此等式能否反过来推出iman=a); (2)若an>0(n=1,2,…),则lim{/a;a2…an=a 4、应用上题的结论证明下列各题: 1+二+-+……+ (1)lim =0;(2)imVa=1(a>0) (3)imn=1 (4)lm 0; 1+√2+√3+ (5)lim (6)lm n5 12、设{ n a }为有界数列，记 − n a =sup{ n a ， n+1 a ，…}， − n a =inf{ n a ， n+1 a ，…}。 证明：（1）对任何正整数 n， − n a ≥ − n a ； （2）{ − n a }为递减有界数列，{ − n a }为递增有界数列，且对任何正整数 n，m 有 − n a ≥ − m a ； （3）设 − n a 和 − n a 分别是{ − n a }和{ − n a }的极限，则 − a ≥ − a ； （4）{ n a }收敛的充要条件是 − a = − a 。 总练习题 1、求下列数列的极限： （1） n→ lim n n n 3 3 + ；（2） n→ lim n e n 5 ；（3） n→ lim ( n + 2 − 2 n +1 + n)。 2、证明： （1） n→ lim n n q 2 =0（|q|<1）；（2） n→ lim a n lg n =0（a≥1）；（3） n→ lim n n! 1 =0。 3、设 n→ lim n a = a，证明： （1） n→ lim n a1 + a2 ++ an = a（又问由此等式能否反过来推出 n→ lim n a = a）； （2）若 n a >0（n=1，2，…），则 n→ lim n a1a2 an = a。 4、应用上题的结论证明下列各题： （1） n→ lim n n 1 3 1 2 1 1+ + ++ =0；（2） n→ lim n a =1（a>0）； （3） n→ lim n n =1； （4） n→ lim n n! 1 =0； （5） n→ lim n n n ! = e； （6） n→ lim n 1+ 2 + 3 ++ n =1；