3、证明下列数列极限存在并求其值: (1)设a1=√2,an1=V2a 2n,n=1,2, (2)设a=√c(c>0),a +a.,n=1,2, (3)a=-(c>0),n=1,2 4、利用{(1+-)”}为递增数列的结论,证明{(1+—)”}为递增数列 5、应用柯西收敛准则,证明以下数列{an}收敛 in 1 sin 2 sin n (1)a (2)a.=1+ 6、证明:若单调数列{an}含有一个收敛子列,则{an}收敛: 7、证明:若a,>0,且lm==l》1,则 lim a=0 8、证明:若{an}为递增(递减)有界数列,则 lim a,=supi a,i(inf( a,))o 又问逆命题成立否? 9、利用不等式b+-am>(n+1)an(b-a),b>a>0 证明:{(1+-)}为递减数列,并由此推出{(1+-)”}为有界数列 10、证明:e-(1+-)"-。 提示:利用上题可知e(1+-);又易证(1+-)<=+(1+-)”。 11,给定两正数a1与b(a1>b1),作出其等差中项a2=+与等比中项 b2=√a1b1,一般地令 证明:lman与lmbn皆存在且相等4 a = 0。 3、证明下列数列极限存在并求其值： （1）设 1 a = 2 ， n+1 a = 2an ，n=1，2，…； （2）设 1 a = c （c>0）， n+1 a = an c + ，n=1，2，…； （3） n a = n! c n （c>0），n=1，2，…。 4、利用{ n n ) 1 (1+ }为递增数列的结论，证明{ n n ) 1 1 (1 + + }为递增数列。 5、应用柯西收敛准则，证明以下数列{ n a }收敛： （1） n a = n n 2 sin 2 sin 2 2 sin 1 2 + ++ ； （2） n a = 2 2 2 1 3 1 2 1 1 n + + ++ 。 6、证明：若单调数列{ n a }含有一个收敛子列，则{ n a }收敛： 7、证明：若 n a >0，且 n→ lim n+1 n a a =l>1，则 n→ lim n a =0。 8、证明：若{ n a }为递增（递减）有界数列，则 n→ lim n a =sup{ n a }（inf{ n a }）。 又问逆命题成立否？ 9、利用不等式 n+1 b - n+1 a >（n+1） n a （b-a），b>a>0 证明：{ 1 ) 1 (1 + + n n }为递减数列，并由此推出{ n n ) 1 (1+ }为有界数列。 10、证明：|e￾n n ) 1 (1+ |< n 3 。 提示：利用上题可知 e< 1 ) 1 (1 + + n n ；又易证 1 ) 1 (1 + + n n < n 3 + n n ) 1 (1+ 。 11、给定两正数 1 a 与 1 b （ 1 a > 1 b ），作出其等差中项 2 a = 2 a1 + b1 与等比中项 b2 = a1b1 ，一般地令 2 1 n n n a b a + + = ，bn+1 = anbn ，n=1，2，…。 证明： n→ lim n a 与 n→ lim n b 皆存在且相等