1991年量子力学考研试题 (见1997年第二题)证明 (1)若一个算符与角动量算符J的两个分量对易,则其必与J 的另一个分量对易; (2)在J2与的共同本征态M)下,六与,的平均值为零,且 当M=J时,测量与J,的不确定性为最小。 证明 (1)设算符F与角动量算符J及皆对易,即 则 元=0 i i 同理可知,若算符F与角动量算符J及J皆对易,则算符户必与对 易;若算符F与角动量算符J及J皆对易,则算符F必与J对易, 于是,问题得证。 (2)在净2与J2的共同本征态M)下,J与,的平均值为1991 年量子力学考研试题 一. （见 1997 年第二题）证明： （1） 若一个算符与角动量算符 J ˆ  的两个分量对易，则其必与 J ˆ  的另一个分量对易； （2） 在 2 ˆ J 与 z J ˆ 的共同本征态 JM 下， x J ˆ 与 y J ˆ 的平均值为零，且 当 M = J 时，测量 x J ˆ 与 y J ˆ 的不确定性为最小。 证明： （1） 设算符 F ˆ 与角动量算符 x J ˆ 及 y J ˆ 皆对易，即     0 ˆ , ˆ ˆ , ˆ F J x = F J y = 则          0 ˆ ˆ , ˆ i 1 ˆ ˆ , ˆ i 1 ˆ , ˆ , ˆ i 1 ˆ , ˆ = = − = z x y x y y x F J F J J F J J F J J    同理可知，若算符 F ˆ 与角动量算符 x J ˆ 及 z J ˆ 皆对易，则算符 F ˆ 必与 y J ˆ 对 易；若算符 F ˆ 与角动量算符 y J ˆ 及 z J ˆ 皆对易，则算符 F ˆ 必与 x J ˆ 对易， 于是，问题得证。 （2）在 2 ˆ J 与 z J ˆ 的共同本征态 JM 下， x J ˆ 与 J y ˆ 的平均值为