哈尔滨工业大学：《量子力学》研究生入学题解（一）

1991年量子力学考研试题 (见1997年第二题)证明 (1)若一个算符与角动量算符J的两个分量对易,则其必与J 的另一个分量对易; (2)在J2与的共同本征态M)下,六与,的平均值为零,且 当M=J时,测量与J,的不确定性为最小。 证明 (1)设算符F与角动量算符J及皆对易,即 则 元=0 i i 同理可知,若算符F与角动量算符J及J皆对易,则算符户必与对 易;若算符F与角动量算符J及J皆对易,则算符F必与J对易, 于是,问题得证。 (2)在净2与J2的共同本征态M)下,J与,的平均值为

1991 年量子力学考研试题 一. （见 1997 年第二题）证明： （1） 若一个算符与角动量算符 J ˆ  的两个分量对易，则其必与 J ˆ  的另一个分量对易； （2） 在 2 ˆ J 与 z J ˆ 的共同本征态 JM 下， x J ˆ 与 y J ˆ 的平均值为零，且 当 M = J 时，测量 x J ˆ 与 y J ˆ 的不确定性为最小。 证明： （1） 设算符 F ˆ 与角动量算符 x J ˆ 及 y J ˆ 皆对易，即     0 ˆ , ˆ ˆ , ˆ F J x = F J y = 则          0 ˆ ˆ , ˆ i 1 ˆ ˆ , ˆ i 1 ˆ , ˆ , ˆ i 1 ˆ , ˆ = = − = z x y x y y x F J F J J F J J F J J    同理可知，若算符 F ˆ 与角动量算符 x J ˆ 及 z J ˆ 皆对易，则算符 F ˆ 必与 y J ˆ 对 易；若算符 F ˆ 与角动量算符 y J ˆ 及 z J ˆ 皆对易，则算符 F ˆ 必与 x J ˆ 对易， 于是，问题得证。 （2）在 2 ˆ J 与 z J ˆ 的共同本征态 JM 下， x J ˆ 与 J y ˆ 的平均值为

√MJM)=M+JM) 由升降算符的修正可知 M)=JJ+)-M(M士DM±1 于是有 √ UMJ_JM=0 同理可证,算符J在JM)下的平均值也未零。在M)态上, M)=M(++)M √M+JM)=√M2-72|M) J(+1)-M 同理可得 WM)=10+1-Mf 故有 (M,)=1[0+1-M/] 或者写为 A,M,=1[(+1)-M3h2 显然,当M=J时,上式取最小值

JM J x JM = JM J ˆ + + J ˆ − JM 2 1 ˆ 由升降算符的修正可知 ( 1) ( 1) 1 ˆ J  JM =  J J + − M M  JM  于是有 0 JM J ˆ x JM = 同理可证，算符 y J ˆ 在 JM 下的平均值也未零。在 JM 态上， ( )( )   2 2 2 2 2 ( 1) 2 1 ˆ ˆ 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 4 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 4 1 ˆ J J M  JM J J J J JM JM J J JM JM J x JM JM J J J J JM + − + = − = = + + = + − − + + − + − 同理可得   2 2 2 ( 1) 2 1 ˆ JM J JM J J M  y = + − 故有 ( ) ( )   4 2 2 2 2 ( 1) 4 1 J J J J M   x   x = + − 或者写为   2 2 ( 1) 2 1 J x  J y = J J + − M  显然，当 M = J 时，上式取最小值

J·△J y/min .(见2001年第二题)粒子作一维运动,当总能量算符为 B=P+(时,能级是E0,如果总能量算符变成=B+aP(a 为实参数),求粒子能级的严格解En 解:视C为参变量,则有 OH aa 利用费曼海尔曼定理可知 E non=(npn) C 又知 pta dt ih 在任何束缚态m)下,均有 =(nH-n)=0 所以, (npn) 进而得到能量本征值满足的微分方程

( ) 2 min 2  J J J  x   y = 二. （见 2001 年第二题）粒子作一维运动，当总能量算符为 V(x) p H = + 2 ˆ ˆ 2 0 时，能级是 0 En ，如果总能量算符变成   p H H ˆ ˆ ˆ = 0 + （  为实参数），求粒子能级的严格解 En 。 解：视  为参变量，则有   H pˆ ˆ =   利用费曼-海尔曼定理可知 n n p n H n En ˆ 1 ˆ    =   =   又知   ( )    = +       = = + p p p x H x t x ˆ 1 ˆ 2 ˆ , i 1 ˆ , i 1 d d 2   在任何束缚态 n 下，均有   0 ˆ ˆ i 1 ˆ , i 1 d d n = n x H n = n xH − Hx n = t x n   所以， n p ˆ n = − 进而得到能量本征值满足的微分方程

aE a 对上式作积分,得到 C E 2u 利用a=0时,合=0,定出积分常数 0 最后,得到的本征值为 三.一维谐振子的哈密顿算符为 H -m20x 引入无量纲算符, nmo +ip. a Vmon 1)计算,a],区a,[2,al (2)将应用a与a表示,并求出全部能级 解 (1)计算对易关系

   = −  En 对上式作积分，得到 E c n = − +   2 2 利用  = 0 时， 0 H ˆ = H ˆ ，定出积分常数 0 En c = 最后，得到 H ˆ 的本征值为   2 2 0 En = En − 三. 一维谐振子的哈密顿算符为 2 2 2 2 1 2 ˆ ˆ m x m p H = +  引入无量纲算符， x m Q   = ˆ ； p m P ˆ 1 ˆ  = ； a (Q P)ˆ i ˆ 2 1 ˆ = + ； a (Q P)ˆ i ˆ 2 1 ˆ = − + （1） 计算 Q ˆ , P ˆ ，   + a ˆ , a ˆ ， a ˆ ,a ˆ a ˆ + ， a ˆ ,a ˆ a ˆ + + ； （2） 将 H ˆ 用 a ˆ 与 + a ˆ 表示，并求出全部能级。 解： （1）计算对易关系

no h a, a'a=a[a, a+la, a k=a a', aa=a at a+la, a k (2)改写哈密顿算符 H +-mox=-holp4+ 2m2 而 aa= -)1+).,+p)1小; 所以,有 h=hol aa+ 下面求解上述哈密顿算符满足的本征方程。 对任何态矢v),均有 因此

   , ˆ i 1 ˆ 1 , ˆ , ˆ  = =      = p x p m x m Q P       ( ) ( )     1 ˆ , ˆ i 2 1 ˆ , i ˆ 2 1 ˆ i ˆ 2 1 , ˆ i ˆ 2 1 ˆ, ˆ = − + =       = + − + a a Q P Q P Q P P Q a ˆ ,a ˆ a ˆ= a ˆ a ˆ ,a ˆ+ a ˆ ,a ˆ a ˆ = a ˆ + + +       + + + + + + + a ˆ ,a ˆ a ˆ = a ˆ a ˆ ,a ˆ + a ˆ ,a ˆ a ˆ = a ˆ （2）改写哈密顿算符 ( ) 2 2 2 2 2 ˆ ˆ 2 1 2 1 2 ˆ ˆ m x P Q m p H = +  =  + 而 ( ) ( ) ( )   ( 1) ˆ ˆ 2 1 ˆ , ˆ 2 i ˆ ˆ 2 1 ˆ i ˆ 2 1 ˆ i ˆ 2 1 ˆ ˆ 2 2 2 2 = − + = + + = + − + a a Q P Q P Q P Q P Q P 所以，有       = + + 2 1 ˆ ˆ ˆH  a a 下面求解上述哈密顿算符满足的本征方程。 对任何态矢  ，均有 ˆ ˆ 0 2 =  +  a a a 因此

mvx)≥2hO 若v)是哈密顿算符的本征态Wvg),则 IVEY)=E,即 E之h 上式说明能量的下限为hO 用作用的任意一个本征态{g)上,利用 o= ano 可知 Haw=)=(aH-ho alvE)(E-ho live 若avg)≠0,则其为哈密顿算符的另一个本征态,相应的本征值为 E-h。重复这个推理的过程,得到E,E-ho,E-2h,…都是哈 密顿算符的本征值,由于,本征值不能小于一h,此数列必须终止 于某个最小值E。,即E-hO不再是能量本征值,其条件为 因此, Eo=ho aa+=Y1 holy 于是可知v)相应当能量本征值

   2 1 H ˆ  若  是哈密顿算符的本征态  E ，则  E H ˆ  E = E ，即  2 1 E  上式说明能量的下限为  2 1 。 用 Ha ˆ ˆ 作用 H ˆ 的任意一个本征态 ' E  上，利用 a ˆ , H ˆ = a ˆ ,a ˆ a ˆ = a ˆ + 可知 ( ) ( ) ' ' ' ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ' E E E Ha = aH −  a  = E −  a 若 ˆ '  0 E a ，则其为哈密顿算符的另一个本征态，相应的本征值为 E −  。重复这个推理的过程，得到 E ' ,E ' − ,E ' − 2,  都是哈 密顿算符的本征值，由于，本征值不能小于  2 1 ，此数列必须终止 于某个最小值 E0 ，即 E0 −  不再是能量本征值，其条件为 ˆ 0 0 a E = 因此， 0 0 0 2 1 2 1 ˆ ˆ ˆ E E E H   a a  =        = + + 于是可知 E0  相应当能量本征值

E 类似前面的做法,利用 Ha+=artho 可知 HavE=(E'+ 1y 说明avg)也是能量的本征态,相应的能量本征值为E+ho,重 复此过程可知,E,E+ho,E+2hO,…都是能量本征值。最后,得到能 量本征值的表达式为 E 四.有一定域电子(作为近似模型,可以不考虑轨道运动)受到 均匀磁场B的作用,磁场B指向X轴电正方向,磁作用为 eB e bh H pc22yc2° 设t=0时,电子的自旋向上,即S:=2,求t>0 时S的平均值。 解:哈密顿算符可以改写为 H eBh o=he 10 其中

 2 1 E0 = 类似前面的做法，利用 = ( + ) + Ha a H ˆ ˆ ˆ ˆ 可知 ' ( ) ' ˆ ˆ ˆ ' E E Ha  E  a  + + = +  说明 ˆ ' E a  + 也是能量的本征态，相应的能量本征值为 +  ' E ，重 复此过程可知， E ' ,E ' + ,E ' + 2,  都是能量本征值。最后，得到能 量本征值的表达式为       = + 2 1 En n 四. 有一定域电子（作为近似模型，可以不考虑轨道运动）受到 均 匀磁 场 B  的 作用 ，磁 场 B  指向 x 轴 电 正方 向， 磁作 用为 x x c eB s c eB H    ˆ 2 ˆ ˆ  = = 。设 t = 0 时，电子的自旋向上，即 2  sz = ，求 t  0 时 s ˆ  的平均值。 解：哈密顿算符可以改写为         = = 1 0 0 1 ˆ 2 ˆ      x c eB H 其中

B 2uC 在泡利表象中,设t>0时体系的波函数为 y(0)=()+)+6)-=/ 则其应满足 ih v()=Huo 于是有 b() 此即, b() dt dolt 1 0d dt 上式可以化为 dla(t)+ bi iolalt)+b dt 解之得到

c eB 2  = 在泡利表象中，设 t  0 时体系的波函数为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )         = + + − = b t a t  t a t b t 则其应满足 ( ) ( ) ( )                = + = = 0 1 0 ˆ d d i   t H t t  于是有 ( ) ( ) ( ) ( )         =        a t b t b t a t t   d d i 此即， ( ) ( ) ( ) ( )        = − = − a t t b t b t t a t   i d d i d d 上式可以化为  ( ) ( )  ( ) ( )  ( ) ( )  ( ) ( )        = − − = − + + a t b t t a t b t a t b t t a t b t   i d d i d d 解之得到

a(o)+b(t)=cexp(-iot a(0)-b(=dexp(ior) 利用初始条件 a(0)=1;b(0)=0 可知 于是, a(t)=cos o t Isin a t t>0时的波函数为 Isin a t 而 s=v(,v()=0 s,=y*(o,v(o==sin 2ot s:=2y(0:v)=20207 五.(第一问见1998年第五题)有一量子体系由哈密顿量 =B0+印描述,其中,W=4,可视为微扰,A,B是厄米特算 符,且有C=B4 (1)若算符A,B,C在H的非简并基态上的平均值已知,且分

( ) ( ) ( )  ( ) ( ) ( )   − = + = − a t b t d t a t b t c t   exp i exp i 利用初始条件 a(0) =1 ； b(0) = 0 可知 c = d =1 于是， ( ) b(t) t a t t isin cos   = − = t  0 时的波函数为 ( )         − = t t t isin cos    而 ( ) ( ) ( ) ( ) s (t) (t) t s t t t s t t z z y y x x cos 2 2 ˆ 2 sin 2 2 ˆ 2 ˆ 0 2                 = = = = − = = + + + 五.（第一问见 1998 年第五题）有一量子体系由哈密顿量 H ˆ H ˆ W ˆ = 0 + 描述，其中，   0 ˆ , ˆ i W ˆ =  A H 可视为微扰， A B ˆ , ˆ 是厄米特算 符，且有 C B Aˆ , ˆ i ˆ = 。 （1）若算符 A B C ˆ , ˆ , ˆ 在 0 H ˆ 的非简并基态上的平均值已知，且分

别记为A,B,C,求B在微扰后的非简并基态上的平均值,准确到量 级 (2)将上述结果用在如下三维问题上, +-m0x 2m2 W=nx 计算在微扰后非简并基态上x,(=1,2,3)的平均值,准确到λ量级。 解: (1)设H满足 E 则哈密顿算符H=H。+W的基态波函数的一级近似为 0+21020+2pB41 0+in)(n/40)=0+i2n)n/40)-i20040)= +(4-4)0 利用归一化条件 (020)-42) 若准确到λ量级,则一级近似波函数已经归一化 在微扰后的基态的一级近似之下计算B的平均值,得到

别记为 0 0 0 A ,B ,C ，求 B ˆ 在微扰后的非简并基态上的平均值，准确到  量 级。 （2） 将上述结果用在如下三维问题上， =         = + 3 1 2 2 2 0 2 1 2 ˆ ˆ i i i m x m p H  3 ˆ W = x 计算在微扰后非简并基态上 xi (i =1,2,3) 的平均值，准确到  量级。 解： （1）设 0 H ˆ 满足 H n En n 0 0 ˆ = 则哈密顿算符 H ˆ H ˆ W ˆ = 0 + 的基态波函数的一级近似为 ( ) ( ) 0 ˆ 0 i 0 ˆ 0 i 0 0 ˆ 0 0 i ˆ 0 i 0 ˆ ˆ ˆ 0 i 0 ˆ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 A A n n A n n A A E E n n AH H A E E n n W n n n n n n + − + = + − = = − − = + − = +             利用归一化条件 ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 1 1 0 ˆ 0 0 = 1+  0 A − A 若准确到  量级，则一级近似波函数已经归一化。 在微扰后的基态的一级近似之下计算 B ˆ 的平均值，得到