《量子力学》（周世勋）第三章 习题解答

第三章习题解答 31一维谐振子处在基态v(x) 求 丌 (1)势能的平均值U=02x2 (2)动能的平均值7=P (3)动量的几率分布函数。 解,A、、! Ao xe 2"√22a2a 1·3·5…(2n-1) T 22 Cy(x)py(x)dx dx2 丌2H T 2 a 4 a 4p h 或T=E-U=ho--ho=-ho (3)c(P)=」vp(x)(x)d d x 2h J-o v 2mV√丌

第三章习题解答 3.1 一维谐振子处在基态 t x i x e      2 2 2 2 ( ) − − = ，求： (1)势能的平均值 2 2 2 1 U =  x ； (2)动能的平均值 2 2 p T = ； (3)动量的几率分布函数。 解：(1)   − − U = x = x e dx x 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1                 =  = =  2 2 2 2 2 2 4 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1  4 1 =   + −     − = 0 1 2 2 2 1 3 5 (2 1) a a n x e dx n n n ax   (2)   − = = x p x dx p T ( ) ˆ ( ) 2 1 2 * 2 2       − − − = − e dx dx d e x x 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 ( ) 2 1         − − = − x e dx x 2 2 (1 ) 2 2 2 2 2        [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2    − −  − − = e dx − x e dx  x  x       ] 2 [ 2 3 2 2 2          = −                 = = =  2 2 4 4 2 2 2 2 2  4 1 = 或    4 1 4 1 2 1 T = E −U = − = (3)  c p = x x dx p ( ) ( ) ( ) *   2 1 2 2 2 1   − − − = e e dx Px i x         − − − = e e dx Px i x   2 2 2 1 2 1    

x 2mhV√z 2mV√z Vah√ 动量几率分布函数为 o(p)=(p) 32氢原子处在基态v(r,,0)=~1 求 (1)r的平均值 (2)势能一一的平均值; (3)最可几半径; (4)动能的平均值 (5)动量的几率分布函数 解:()7=J中(,.o)dr= re-rldor sin 0 drde do (2)U=(--) -e- sin 0 drde do sSre-xrlcorsin e drde dg

  − − + − = e dx ip p x 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 1 2 1            − − − + = e e dx ip x p 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 1 2 2 1                2 2 1 2 2 2 2   p e − = 2 2 2 2 1      p e − = 动量几率分布函数为 2 2 2 1 ( ) ( ) 2       p p c p e − = = # 3.2.氢原子处在基态 0 / 3 0 1 ( , , ) r a e a r − =     ，求： (1)r 的平均值； (2)势能 r e 2 − 的平均值； (3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。 解：(1)           re r drd d a r r r d r a sin 1 ( , , ) 0 2 2 0 0 2 / 3 0 2 0      − = =   − = 0 3 2 / 3 0 0 4 r a dr a r a   + − = 0 1 ! n n ax a n x e dx 4 0 0 3 0 2 3 2 4 3! a a a =         = 0 2 2 0 3 0 2 0 2 / 3 0 2 0 2 0 0 2 / 3 0 2 0 2 0 0 2 / 2 3 0 2 2 2 4 1 4 sin sin 1 (2) ( ) 0 0 0 a e a a e e r dr a e e r drd d a e e r drd d a r e r e U r a r a r a = −         = − = − = − = − = −         −  −  −            

(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为 rdr= tw(r,,)rsin 0 drde do =e do()4 0, 0,r 当F=0,n2=∞时,O(r)=0为几率最小位置 d-o(r) 8 e do(r) ∴r=ao是最可几半径 (4)T=-p2 r2 ar ar sin 0 a0 00 sine 方 (e- )r sin 0 drde de f b-se_.[r2 de-la)] sin 0 drde do 2 4n (5)c(p)=vp(w(r,e,)dr rudi (2m)3 (2mh) 2 方 (2m) 2 (2m)2

(3)电子出现在 r+dr 球壳内出现的几率为   =          0 2 0 2 2 (r)dr [ (r, , )] r sin drd d e r dr a 2r / a 2 3 0 0 4 − = 2 / 2 3 0 0 4 ( ) e r a r − r a  = 0 2 / 0 3 0 ) 2 (2 ( ) 4 r a r re dr a a d r − = −  令 1 2 3 0 0 0, , ( ) r r r a dr d r = ， = =  =  当 r1 = 0, r2 = 时，(r) = 0 为几率最小位置 0 2 2 / 2 0 0 3 0 2 2 ) 8 4 (2 ( ) 4 r a r e a r dr a a d r − = − +  0 ( ) 8 2 3 0 2 2 0 = −  − = e dr a d r r a  ∴ a0 r = 是最可几半径。 (4) 2 2 2 2 ˆ 2 1 ˆ = = −     T p     − − = −        0  2 0 0 / 2 / 2 3 0 2 ( ) sin 1 2 0 0 e e r drd d a T  r a r a     − − = −       0  2 0 0 2 / 2 2 / 3 0 2 [ ( )] sin 1 1 2 0 0 e r drd d dr d r dr d r e a  r a r a   − = − − − 0 / 0 2 0 3 0 2 (2 ) 1 ( 2 4 0 e dr a r r a a r a   2 0 2 2 0 2 0 4 0 2 2 ) 4 4 (2 2 4 a a a a    = − = (5) c p  r  r   d p ( ) ( ) ( , , ) *    =     − − =         2 0 0 cos 0 / 2 3 0 3/ 2 sin 1 (2 ) 1 ( ) 0 e r dr e d d a c p pr i r a     = −  − −       0 cos 0 2 / 3 0 3/ 2 ( cos ) (2 ) 2 0 r e dr e d a pr i r a     − − = 0 0 cos 2 / 3 0 3/ 2 0 (2 ) 2      pr i r a e ipr r e dr a      − − = − 0 / 3 0 3/ 2 ( ) (2 ) 2 0 re e e dr a ip pr i pr i r a         + − = 0 1 ! n n ax a n x e dx         +     +      = 2 2 2 2 2 sin 1 (sin ) sin 1 ( ) 1     r   r r r

2 (2m)32、√ma卯 4 2ah ip ah ta(ao p+h) (a02p2+h2) 动量几率分布函数 8a3h5 o(p)=c(p) (a0p2+ 3.3证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 J=J=0 ursine/n, 证:电子的电流密度为 J,=-e=-e.(yumVynm-yumVyum) ⅴ在球极坐标中为 rsin 0 a0 式中E、回为单位矢量 Lynn(e in a 010 ynm(e,-+ )Unm] Or r a0 rsin 0 ag h le(y )+e(y nm-Vm)+E。( ) rsin rsin e ynm中的r和0部分是实数 2ursin 8 (-im ndm -imly nm f)e 可见,Ja=J=0

] ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 [ (2 ) 2 2 0 2 0 3 0 3/ 2 p i a p i a a ip     + − − =    2 2 2 2 0 0 3 3 0 ) 1 ( 4 2 1    p a a ip a ip + =  2 2 2 2 0 4 4 0 0 3 3 0 2 ( ) 4    + = a p a a  a 2 2 2 2 0 3 / 2 0 ( ) (2 )    + = a p a  动量几率分布函数 2 2 4 0 2 3 5 0 2 ( ) 8 ( ) ( )   + = = a p a p c p   # 3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 Jer = Je = 0 2 sin e n m r e m J       = 证：电子的电流密度为 ( ) 2 * * e n m n m n m n m i J eJ e             = − = −  −   在球极坐标中为        +   +    = sin 1 1 r e e r r er    式中   e e e r    、 、 为单位矢量 ) ] sin 1 1 ( ) sin 1 1 [ ( 2 * * n m r n m e n m r n m r e e r r e r e e r r e i J eJ e                               +   +   −   +   +   = − = − )] sin 1 sin 1 ) ( 1 1 [ ( ) ( 2 * * * * * * n m n m n m n m n m n m r n m n m n m n m n m n m r r e r r e r r e ie                                        −   +   −   +   −   = −  nm 中的 r 和  部分是实数。 ∴      im im e r ie Je n m n m      ( ) 2 sin 2 2 = − − −     e r e m n m    2 sin = − 可见， Jer = Je = 0

ur sI 34由上题可知,氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1)求一圆周电流的磁矩 2)证明氢原子磁矩为 meh M=M=( rsin 8 eh C 原子磁矩与角动量之比为 (S/) M 2 (CGS) C 这个比值称为回转磁比率 解:(1)一圆周电流的磁矩为 dM=i=JdS·A(i为圆周电流,A为圆周所围面积) ehm ltm ds.(rsin 0) arson SiN ehm rr2sin e/ nom drde (ds=rdrd0 (2)氢原子的磁矩为 M=dM= fh-enn AI r2 sin 0 drde 2u o r santal /sin e drdo ehm (Sn) 2 在CGS单位制中M==-m 原子磁矩与角动量之比为 MM M (S/) L Llc (CGS)#

2 sin e n m r e m J       = − # 3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1)求一圆周电流的磁矩。 (2)证明氢原子磁矩为        − − = = ( ) 2 ( ) 2 CGS c me SI me M M z     原子磁矩与角动量之比为        − − = ( ) 2 ( ) 2 CGS c e SI e L M z z   这个比值称为回转磁比率。 解：(1) 一圆周电流的磁矩为 dM = iA = JedS  A （ i 为圆周电流， A 为圆周所围面积） 2 2 ( sin ) sin      dS r r e m n m = −    r dS e m n m 2 sin      = −     r drd e m n m 2 2 sin   = − (dS = rdrd) (2)氢原子的磁矩为     = = −     0 0  2 2 r sin drd e m M dM nm     = −        0 0 2 2 2 sin 2 r drd e m nm         r drd d e m    n m  = − 2 0 0 0 2 2 sin 2   2 em = − (SI) 在 CGS 单位制中 c e m M 2  == − 原子磁矩与角动量之比为 ( ) 2 SI e L M L M z z z  = = − ( ) 2 CGS c e L M z z  = − #

3.5一刚性转子转动惯量为1,它的能量的经典表示式是H=,L为角动量, 求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数 (1)转子绕一固定轴转动: (2)转子绕一固定点转动: 解:(1)设该固定轴沿Z轴方向,则有 哈米顿算符=1=h 21 do 其本征方程为(与t无关,属定态问题) h- d P()=Eo() 21 de 2E 令m2=2,,则 d'o(o) +n 取其解为q)=Aem甲(m可正可负可为零) 由波函数的单值性,应有 P(+2r=o( im(9+2r) 2m露 ∴m=0,±1,±2, 转子的定态能量为En=m2(m 可见能量只能取一系列分立值,构成分立谱。定态波函数为 oo A为归一化常数,由归一化条件 4.,d=fd=42z A= 2丌 转子的归一化波函数为 综上所述,除m=0外,能级是二重简并的

3.5 一刚性转子转动惯量为 I，它的能量的经典表示式是 I L H 2 2 = ，L 为角动量， 求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动： 解：(1)设该固定轴沿 Z 轴方向，则有 2 2 L = LZ 哈米顿算符 2 2 2 2 2 ˆ 2 1 ˆ d d I L I H Z  = = − 其本征方程为 ( H与t ˆ 无关，属定态问题) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2             IE d d E d d I = − − = 令 2 2 2  IE m = ，则 ( ) 0 ( ) 2 2 2 +   =    m d d 取其解为    im ( ) = Ae ( m 可正可负可为零) 由波函数的单值性，应有         im im + =  e = e ( +2 ) ( 2 ) ( ) 即 1 2 = i m e ∴m= 0，±1，±2，… 转子的定态能量为 I m Em 2 2 2  = (m= 0，±1，±2，…) 可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为   im m = Ae A 为归一化常数，由归一化条件         2 1 1 2 2 2 0 2 2 0 *  = = = =   A m md A d A ∴ 转子的归一化波函数为    im m e 2 1 = 综上所述，除 m=0 外，能级是二重简并的

(2)取固定点为坐标原点,则转子的哈米顿算符为 H与t无关,属定态问题,其本征方程为 <2Y(.p)=EY(,g) (式中Y(,q)设为的本征函数,E为其本征值) 2Y(0,q)=2EY(6,q) 令2E=M2,则有 i2Y(6,q)=h2Y(6,p) 此即为角动量2的本征方程,其本征值为 I2=2=(+1)h2(=0,1,2,…) 其波函数为球谐函数Y(,q)=NaP{m(cose ∴转子的定态能量为 E=+2 可见,能量是分立的,且是(2C+1)重简并的。 # 3.6设t=0时,粒子的状态为 y(r=Asin kx+2 cos kx 求此时粒子的平均动量和平均动能 ff: v(x)=A[sinkx+Icos kx]=A[z(1-cos 2kx)+3cos kx [1-cos 2kr cos he -( -ike )+l(e“+e) A√2m le-2 ike -12kx+-e 2 +e1 2TTh 可见,动量pn的可能值为02M 2 动能Pn的可能值为02k2n22k2h2k2h kh2 对应的几率O应为(414 A 上述的A为归一化常数,可由归一化条件,得

(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为 ˆ 2 2 1 ˆ L I H = H与t ˆ 无关，属定态问题，其本征方程为 ( , ) ( , ) ˆ 2 1 2 L Y   EY   I = (式中 Y( ,) 设为 H ˆ 的本征函数， E 为其本征值) ( , ) 2 ( , ) ˆ 2 L Y   = IEY   令 2 2IE =  ，则有 ( , ) ( , ) ˆ 2 2 L Y   =  Y   此即为角动量 2 L ˆ 的本征方程，其本征值为 ( 1) ( 0, 1, 2, ) L 2 =  2 =   +  2  =  其波函数为球谐函数     m im m m Y ( , ) N P (cos )e  =   ∴ 转子的定态能量为 2 ( 1) 2 I E     + = 可见，能量是分立的，且是 (2 + 1) 重简并的。 # 3.6 设 t=0 时，粒子的状态为 ( ) [sin cos ] 2 2 1  x = A kx + kx 求此时粒子的平均动量和平均动能。 解： ( ) [sin cos ] [ (1 cos 2 ) cos ] 2 1 2 1 2 2 1  x = A k x + k x = A − k x + k x [1 cos2 cos ] 2 kx kx A = − + [1 ( ) ( )] 2 2 2 2 1 2 1 i kx i kx ikx ikx e e e e A − − = − − + +     2 1 [ ] 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 0 1 = − − + +  i x i kx −i kx ikx −ikx e e e e e A 可见，动量 n p 的可能值为 0 2k − 2k k − k 动能 2 2 n p 的可能值为    2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 k  k  k  k  对应的几率 n 应为 ) 2 16 16 16 16 4 ( 2 2 2 2 2  A A A A A  2 ) 8 1 8 1 8 1 8 1 2 1 (  A 上述的 A 为归一化常数，可由归一化条件，得   2 2 ) 2 16 4 4 1 ( 2 2 2 =  = +   =  A A A n n

∴A=1/√m ∴动量p的平均值为 p=∑PnOn =0+2M×一2m-2随x一2m+随x一2m-hx一2mh=0 =0+2k2h21k2h2 2 kkh 8 # 率**率* shangshuyihe***** 3.7一维运动粒子的状态是 当x≥0 0,当x0,求: (1)粒子动量的几率分布函数 (2粒子的平均动量。 解:(1)先求归一化常数,由 1=lw(x) ax=axe"x 423 A=223 y(x)=232xa-2x (x≥0) y(x)=0 (x<0) p)=.1-“w(x=(,y2,x xe-+ y(x)dx 2 -(A+ik) 1P。-(λ+i)xd +诉 a+ik 动量几率分布函数为 2h3 o(p)=c(p) P (h a +p

∴ A = 1/  ∴ 动量 p 的平均值为 2 0 16 2 16 2 16 2 2 16 0 2 2 2 2 2 = +   −   +   −   = =           A k A k A k A k p p n n n = =  n n p pn T  2 2 2 2 2 8 1 2 2 8 2 1 0 2 2 2 2 = +   +     k  k  8 5 2 2 k  = # ********shangshuyihe******* 3.7 一维运动粒子的状态是      = − 0, 0 , 0 ( ) x Axe x x x 当  当  其中   0 ，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。 解：(1)先求归一化常数，由    −  − = = 0 2 2 2 2 1 (x) dx A x e dx x  2 3 4 1 A  = ∴ 3 / 2 A = 2 x x xe    3 / 2 2 ( ) 2 − = ( x  0)  ( x) = 0 ( x  0)    − − +  − − c p = e x dx =  xe x dx ikx i k x ) 2 ( ) 2 1 ( ) ( 2 1 ( ) 1 / 2 3 / 2 ( )           − − +  − + + + + = − e dx ik e ik x i k x ( i k) x 0 1/ 2 ( ) 3 1 ) [ 2 2 (        2 1 / 2 3 2 1 / 2 3 ( ) 1 ) 2 2 ( ( ) ) 2 2 (    p i ik x + = = + =       动量几率分布函数为 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3 2 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) p p p c p + = + = =           

P=l V(x)p(x)dx=-in[ 42'read(e )d ih42'n x(1-ar)e i4小(x-Ax2)et -i42h( 42242 0 38在一维无限深势阱中运动的粒子,势阱的宽度为a,如果粒子的状态由波函数 y(x)=Ax(a-x) 描写,A为归一化常数,求粒子的几率分布和能量的平均值。 解:由波函数y(x)的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本 征函数和本征值为 n兀 0≤x≤a y(rva a 0, x≤0,x≥a n22h2 E (n=1,2,3,…) 动量的几率分布函数为a(E)=C2 y (x)y()dr=l sin--xy(x)x 先把y(x)归一化,由归一化条件, fw(x)'c= A'x (a-x)cx=Asx(a2-2c (a'x-2ax+x)d ∴C sin -. x(a-xc 2√15 q同xsin"xdx-x2 sin--xdx

(2)    − − −  − = = − e dx dx d p x p x dx i xe x x ( ) ˆ ( ) 4 ( ) * 3         − − = −i x − x e dx x   3 2 4  (1 )   − − = −i x − x e dx x   3 2 2 4  ( ) ) 4 1 4 1 4 ( 2 2 3   = −i   − = 0 # 3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为 a ，如果粒子的状态由波函数 (x) = Ax(a − x) 描写，A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。 解：由波函数 (x) 的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本 征函数和本征值为          x x a x x a a n x a 0, 0, sin , 0 2 ( )   2 2 2 2 2 a n En    = (n = 1，2，3， ) 动量的几率分布函数为 2 ( )  E = Cn   = =  − a n x x dx a n C x x dx 0 * ( ) ( ) sin ( )    先把 (x) 归一化，由归一化条件，    = = − = − +  − a a x dx A x a x dx A x a ax x dx 0 2 2 2 2 0 2 2 2 1 ( ) ( ) ( 2 )  = − + a A a x ax x dx 0 2 2 2 3 4 ( 2 ) 30 ) 3 2 5 ( 5 2 5 5 5 2 a A a a a = A − + = ∴ 5 30 a A = ∴  =   − a n x x a x dx a n a a C 0 5 sin ( ) 2 30  [ sin sin ] 2 15 0 2 0 3 xdx a n xdx x a n a x a a a   = −  

+ sin -x+-x cos-x n元 2at n元 2a3n兀 XsIn-x cos l-(-1)" O(E)=c 240 661-(-1” n=1,3,5, n°z 0,n=2,4,6, E=w(x)Hw(x)dx=w(x)P,w( sx(r-a).[ 2u dx 30h 30h2a3a3 (x-adx 39设氢原子处于状态 y(r,6,q)=R21(r)Y10(6,q)-=R21(r)Y1-1(6,g) 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值,这些可能值出现的几率和 这些力学量的平均值 解:在此能量中,氢原子能量有确定值 Ex 2n28 (n=2) 角动量平方有确定值为 D2=(+1)h 角动量Z分量的可能值为 L,=OL 其相应的几率分别为 其平均值为 33

a x a n n a x a n x n a x a n x n a x a n n a x a n x n a a 0 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 3 cos ] 2 sin 2 [ cos sin cos 2 15           − − = − + + [1 ( 1) ] 4 15 3 3 n n = − −  ∴ 2 6 6 2 [1 ( 1) ] 240 ( ) n n n E = C = − −        = = =   0 2, 4, 6, 1 3 5 960 6 6 n n n ， ， ， ， ，    = =  − a x dx p E x H x dx x 0 2 ( ) 2 ˆ ( ) ( ) ˆ ( )       = −  − − a x x a dx dx d x x a a 0 2 2 2 5 ( )] 2 ( ) [ 30   ) 2 3 ( 30 ( ) 30 3 3 5 2 0 5 2 a a a x x a dx a a = − = −      2 2 5 a  = 3.9.设氢原子处于状态 ( ) ( , ) 2 3 ( ) ( , ) 2 1 ( , , )  r   = R21 r Y10   − R21 r Y1−1   求氢原子能量、角动量平方及角动量 Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和 这些力学量的平均值。 解：在此能量中，氢原子能量有确定值 2 2 2 2 2 2 2 8 s s e n e E   = − = − (n = 2) 角动量平方有确定值为 2 2 2 L = ( + 1) = 2 ( = 1) 角动量 Z 分量的可能值为 LZ1 = 0 LZ2 = − 其相应的几率分别为 4 1 ， 4 3 其平均值为   4 3 4 3 0 4 1 LZ =  −  = −