第二章习题解答 p 21证明在定态中,几率流与时间无关。 证:对于定态,可令 Y(r,t)=y(r)f(t) y(r)e -(wY-yVy) 2m E 上E ly(reh v(y(r)e h)-y(ren v(y(r)e h ) lyOrVyr-y((rI 可见J与t无关。 22由下列定态波函数计算几率流密度 (2 从所得结果说明v表示向外传播的球面波,v2表示向内(即向原点)传播的球 面波。 解:J和J2只有r分量 在球坐标中V 010 +e +e rsin e a 2nNyIV1vy1 b2e2(1e)-1e(1e 2m r i.1 [-(-x-i (--2+放一) 2m rr k J,与同向。表示向外传播的球面波
第二章习题解答 p.52 2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令 [ (r) (r) (r) (r)] 2m i [ (r)e (r)e (r)e (r)e ] 2m i ( ) 2m i J (r)e (r t) (r)f(t) * * E t i E t i * * E t i E t i * * E t i = − = − = − = = − − − − − （ ） （ ） ， 可见 J与t 无关。 2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： ikr ikr e r e r − = = 1 (2) 1 (1)1 2 从所得结果说明 1 表示向外传播的球面波， 2 表示向内(即向原点) 传播的球 面波。 解： J1和J 2只有r分量 在球坐标中 + + = rsin 1 e r 1 e r r0 r m r k r m r k r r ik r r r ik m r r i e r r r e r e r r e m r i m i J ikr ikr ikr ikr 2 0 3 2 2 0 0 1 * 1 * 1 1 1 )] 1 1 ( 1 ) 1 1 ( 1 [ 2 )] 1 ( 1 ) 1 ( 1 [ 2 ( ) 2 (1) = = = − − − − + − = = − − − J r 1 与 同向。表示向外传播的球面波
(2)2=hv2v2-v2vv) -ikr 1. 1 m r Or r (一-2+i-)--( k 2m nk nk 0=--3r 可见,J2与F反向。表示向内(即向原点)传播的球面波 补充:设u(x)=e“,粒子的位置几率分布如何?这个波函数能否归一化? dx=∞ 波函数不能按|v(x)dk=1方式归一化 其相对位置几率分布函数为 2=1表示粒子在空间各处出现的几率相同 23一粒子在一维势场 ,xa 中运动,求粒子的能级和对应的波函数。 解:U(x)与t无关,是定态问题。其定态S—方程 2m drv(x)+U(x)y(x)=Ey(x) 在各区域的具体形式为 h d I:0sxsa、"2(x)+U(x)形1(x)=Ev(x)① I:xa 2m dx2v3()+U(x)v(x)=Ev(x) 由于(1)、(3)方程中,由于U(x)=∞,要等式成立,必须 v1(x)=0
r mr k r mr k )]r r 1 ik r 1 ( r 1 ) r 1 ik r 1 ( r 1 [ 2m i e )]r r 1 ( r e r 1 e ) r 1 ( r e r 1 [ 2m i ( ) 2m i (2) J 2 0 3 2 2 0 0 ikr ikr ikr ikr * 2 * 2 2 2 = − = − = − + − − − − = = − − − 可见， J r 2与 反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。 补充：设 ikx (x) = e ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ = = *dx dx ∴波函数不能按 ( ) 1 2 = x dx 方式归一化。 其相对位置几率分布函数为 1 2 = = 表示粒子在空间各处出现的几率相同。 2.3 一粒子在一维势场 = x a x a x U x ， ， ， 0 0 0 ( ) 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解： U(x)与t 无关，是定态问题。其定态 S—方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d m − + = 在各区域的具体形式为 Ⅰ： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 1 1 1 2 2 x U x x E x dx d m x − + = ① Ⅱ： ( ) ( ) 2 0 2 2 2 2 2 x E x dx d m x a − = ② Ⅲ： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 2 2 x U x x E x dx d m x a − + = ③ 由于(1)、(3)方程中，由于 U(x) = ，要等式成立，必须 1 (x) = 0
y2(x)=0 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为v2(x),2mE dx 方2y2(x)=0 令k 2me 得 d-v,(x) k2 其解为v2(x)= Asin kx+ Bcos kx④ 根据波函数的标准条件确定系数A,B,由连续性条件,得 v2(0)=v1(0)⑤ v2(a)=v3(a)⑥ ⑤→B=0 ⑥→ asin ka=0 A≠0 sin ka=o (n=1,2,3,…) v2(x)=Asin-x 由归一化条件 得A「sm2zxdk=1 mZ 由|s x*sin nt 2me n2(n=1,2,3,…)可见E是量子化的。 对应于E的归一化的定态波函数为
2 (x) = 0 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为 ( ) 0 ( ) 2 2 2 2 2 2 + x = mE dx d x 令 2 2 2 mE k = ，得 ( ) 0 ( ) 2 2 2 2 2 + k x = dx d x 其解为 (x) Asin kx Bcoskx 2 = + ④ 根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得 (0) (0) 2 =1 ⑤ ( ) ( ) 2 a = 3 a ⑥ ⑤ B = 0 ⑥ Asin ka = 0 ( 1, 2, 3, ) sin 0 0 = = = k a n n k a A ∴ x a n x A 2 ( ) = sin 由归一化条件 ( ) 1 2 = x dx 得 sin 1 0 2 2 = a xdx a n A 由 mn a b a xdx a n x a m = 2 sin sin x a n a x a A sin 2 ( ) 2 2 = = 2 2 2 mE k = ( 1,2,3, ) 2 2 2 2 2 = n n = ma En 可见 E 是量子化的。 对应于 En 的归一化的定态波函数为
0≤x≤a V (x, t=va a 24.证明(26-14)式中的归一化常数是A= (x+a)2|x <a (26-14) x 由归一化,得 1=llwal ax=Asin/(x+a) A (x +ald n (x+a)db 42aA42 n (x+a) A ∴归一化常数A= 25求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置 解:v(x)= axe O,(x)=v(x)=4a -a x do,(x [2x-2a2x3]e d x (r)on y 0,得 x=0
= − x a x a x e x a a n x t a E t i n n 0, , sin , 0 2 ( , ) # 2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是 a A 1 = 证： + = x a x a x a a n A n 0, sin ( ), （2.6-14） 由归一化，得 A a x a a n n A a A a x a dx a A n x A x a dx a n A x a dx a n dx A a a a a a a a a a a n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin ( ) 2 cos ( ) 2 2 [1 cos ( )] 2 1 1 sin ( ) = + = − + − = = − + = = + − − − − − ∴归一化常数 a A 1 = # 2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。 解： 2 2 2 1 2 2 ( ) x x xe − = 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) 4 x x x e x x x e − − = = = 2 2 [2 2 ] ( ) 2 2 3 3 1 x x x e dx d x − = − 令 0 ( ) 1 = dx d x ，得 x = x = x = 1 0
由a1(x)的表达式可知,x=0,x=±∞时,a1(x)=0。显然不是最大几率的位 置 而 )-2a2x(2x-2a2x3)e (1 DIe d21(x) -x反演,可得③, 由③再经-x→>x反演,可得①,反演步骤与上完全相同,即是完全等价的。 ④乘⑤,得 y(x)y (-x=cy(x(-x 可见,c2=1 当c=+1时,v(-x)=v(x),→v(x)具有偶宇称, 当c=-1时,v(-x)=-v(x),→v(x)具有奇宇称
由 ( ) 1 x 的表达式可知， x = 0，x = 时， 1 (x) = 0 。显然不是最大几率的位 置。 2 2 2 2 [(1 5 2 )] 4 [(2 6 ) 2 (2 2 )] ( ) 2 2 2 4 4 3 2 2 2 2 3 3 2 1 2 x x x x e x x x x e dx d x − − = − − 而 = − − − 0 4 1 2 ( ) 3 2 1 2 1 2 = − = dx e d x x 可见 = = 1 x 是所求几率最大的位置。 # 2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称： U(−x) = U(x) ，证明粒子的 定态波函数具有确定的宇称。 证：在一维势场中运动的粒子的定态 S-方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d − + = ① 将式中的 x以(−x) 代换，得 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d − − + − − = − ② 利用 U(−x) = U(x) ，得 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d − − + − = − ③ 比较①、③式可知， (−x)和(x) 都是描写在同一势场作用下的粒子状态 的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此 (−x)和(x) 之间只能相差一 个常数 c 。方程①、③可相互进行空间反演 (x −x) 而得其对方，由①经 x →−x 反演，可得③， (−x) = c(x) ④ 由③再经− x → x 反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 (x) = c(−x) ⑤ ④乘 ⑤，得 (x) ( x) c (x) ( x) 2 − = − 可见， 1 2 c = c = 1 当 c = +1 时， (−x) = (x)，(x) 具有偶宇称， 当 c = −1 时， (−x) = −(x)，(x) 具有奇宇称
当势场满足U(-x)=U(x)时,粒子的定态波函数具有确定的宇称。 27一粒子在一维势阱中 U0>0, > a U(x)= 0,≤a 运动,求束缚态(0<E<U0)的能级所满足的方程 解:粒子所满足的S-方程为 2a2(x)+U(x)(x)=Ev(x) 按势能U(x)的形式分区域的具体形式为 h2 d A dx2 y(x)+U(x)=Ey,(x) 0<X<a 2 Ⅱ:h2d2 (x)=Ev2(x) a≤x≤a 2u dx SAR I dx2V3(x)+Uov3 (x)=Ev3(x) a<x<0 整 I: i 2H(Uo-E h I:y 0 Ⅲlv-22-2v=0 方 令k2 2山(Uo-E) 2LE 则 I:W-k2v1=0⑦ k2v2=0 Ⅲ1:v?-kv1=0⑨ 各方程的解为 yI Be y2=Csin k,X+Dcosk,X 由波函数的有限性,有
当势场满足 U(−x) = U(x) 时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。 # 2.7 一粒子在一维势阱中 = x a U x a U x 0, 0, ( ) 0 运动，求束缚态( 0 E U0 )的能级所满足的方程。 解：粒子所满足的 S-方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d − + = 按势能 U(x) 的形式分区域的具体形式为 Ⅰ： (x) U (x) E (x) dx d 2 2 1 0 1 1 2 2 − + = − x a ① Ⅱ： ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x E x dx d − = − a x a ② Ⅲ： (x) U (x) E (x) dx d 2 2 3 0 3 3 2 2 − + = a x ③ 整理后，得 Ⅰ： 0 2 ( ) 2 1 0 1 = − − U E ④ Ⅱ：. 0 2 E 2 + 2 2 = ⑤ Ⅲ： 0 2 ( ) 2 3 0 3 = − − U E ⑥ 令 2 2 2 2 2 0 1 2 2 ( ) E k U E k = − = 则 Ⅰ： 1 0 2 1 − k1 = ⑦ Ⅱ：. 2 0 2 2 − k2 = ⑧ Ⅲ： 1 0 2 3 − k1 = ⑨ 各方程的解为 k x k x 3 2 2 2 k x k x 1 1 1 1 1 Ee Fe Csin k x Dcos k x Ae Be + − − = + = + = + 由波函数的有限性，有
)有限 A=0 (∞)有限 因此 yI y3 由波函数的连续性,有 v,(a)=v2(-a),= Be-=-Csin k,a+Dcosk2a vi(a)=v2(a), =k,- =k, Ccos k,a+,Dsn k, a (11) w2(a)=v3(a),= Csin k, a+Dcos k, a=Fe-k a v2(a)=v3(a,→k2 Ccos k 2a-k, Dsin k,a=-k, Fe *d(13) 整理(10)、(11)、(12)、(13)式,并合并成方程组,得 e-IB+sn k aC-cosk aD+0=0 2aD+0=0 0+sin k,aC +cosk2ad-eF=0 0+k, cosk,aC-k, sin k, aD+k,e-F=0 解此方程即可得出B、C、D、F,进而得出波函数的具体形式,要方程组 有非零解,必须 k,a k cos k k sin k n k 2a k,a k, sin k,a k, Be k cos k k sin k a 0 sin ka k k. cos k sin k cos ka 0 k,e k、 sin ka k,e-ka e-l[k, k,e-I cos k,a+ke- sin k, a cos k,a+ +k,k,e-k sin k,a+k2e-ka sin k, a cosk, a] e s2 ka+ sin k.acoska-k_e-k sin 2k e[-2k,k, cos 2k, a +k2 sin 2k,a-k sin 2k2a e-R(k,-kisin 2k, a-2k,, cos 2k, a
( ) 0 ( ) 0 3 1 = − = E A 有限 有限 因此 k x 3 k x 1 1 1 Fe Be − = = 由波函数的连续性，有 (a) (a), k Ccos k a k Dsin k a k Fe (13) (a) (a), Csin k a Dcos k a Fe (12) ( a) ( a), k Be k Ccos k a k Dsin k a (11) ( a) ( a), Be Csin k a Dcos k a (10) k a 2 3 2 2 2 2 1 k a 2 3 2 2 2 2 2 2 k a 1 2 1 2 2 k a 1 2 1 1 1 1 − − − − = − = − = + = − = − = + − = − = − + 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得 0 k cos k aC k sin k aD k e F 0 0 sin k aC cos k aD e F 0 k e B k cos k aC k sin k a D 0 0 e B sin k aC cos k aD 0 0 k a 2 2 2 2 1 k a 2 2 2 2 2 2 k a 1 2 2 k a 1 1 1 1 + − + = + + − = − − + = + − + = − − − − 解此方程即可得出 B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组 有非零解，必须 0 0 k cos k a k sin k a k Be 0 sin k a cos k a e k e k cos k a k sin k a 0 e sin k a cos k a 0 k a 2 2 2 2 1 k a 2 2 2 2 2 2 k a 1 2 2 k a 1 1 1 1 = − − − − − − − − e [(k k )sin 2k a 2k k cos 2k a] e [ 2k k cos 2k a k sin 2k a k sin 2k a] k e sin k a cos k a k e sin k a] k e [k e sin k a cos k a k e cos k a k k e sin k a k e sin k a cos k a] e [ k k e cos k a k e sin k a cos k a k cos k a k sin k a k e sin k a cos k a e sin k a cos k a 0 k e k cos k a k sin k a k e sin k a cos k a e k cos k a k sin k a 0 0 e 2 1 2 2 2 1 2 2 2k a 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2k a 2 k a 2 2 2 2 k a 1 2 k a 2 2 2 2 k a 1 k a 1 2 2 2 k a 2 2 k a 2 1 2 2 2 2 k a 2 2 k a 2 1 2 k a k a 2 2 2 2 1 k a 2 2 2 2 k a 1 k a 2 2 2 2 1 k a 2 2 2 2 2 2 k a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − − = − + − + − − + + + + − = − + + = − − − − − − − − − = − − − − − − − − − − − − − − − − − −
0 ∴(k2-k1) L k, k, cos 2k,a=0 即(k2-k2)g2k2a-2kk2=0为所求束缚态能级所满足的方程。# 方法二:接(13)式 -Csin ka+Dcosk a=-Ccoska+-Dsin k a k Csin ka+ dcosk a =--zCcosk Dsin ka cos k, a+sin k a sn,一cosK,a cos k2 a +sin k, a -(2sin k2 a-cos k2 a) A, SK2a+sin k, a)(sin k2a-cos k2 a A, Cos k,a+sin k, a)(2 k, a-cos k, a)=0 (cos k2 a+sin k2a(sin k, a-cos ka)=0 k sink acos k a+-sin-ka--coska-sin kacoska=0 (-1+n2)sim2k2a-72c0s2k2a=0 (h2-ki)sin 2k, a-2k,k, cos 2k2 a =0 另一解法: (11)-(13)→2k2 Sink2a=k1e-"(B+F) (10)+(12)=2Dcosk,a =e-K(B+F) (11)-(13) →k2tg (11)+(13)= 2k, Ccos k, a=-k, (F-B)e -K a (12)-(10)→2Csnk2a=(F-B)ek (11)+(13) →k2cgk2a=-k (b) (12)-(10) 令5=k2,=k2a,则
∵ 0 2 1 − k a e ∴ ( )sin 2 2 2 1 2 cos2 2 0 2 1 2 k2 − k k a − k k k a = 即 ( ) 2 2 2 1 2 0 2 1 2 k2 − k tg k a − k k = 为所求束缚态能级所满足的方程。# 方法二：接（13）式 Dsin k a k k Ccos k a k k Csin k a Dcos k a 2 1 2 2 1 2 − 2 + 2 = + Dsin k a k k Ccosk a k k Csin k a Dcos k a 2 1 2 2 1 2 2 + 2 = − + ( )sin2 2k cos 2 0 cos 2 0 2 ( 1 )sin2 sin cos sin cos sin cos 0 ( cos sin )( sin cos ) 0 ( cos sin )( sin cos ) 0 ( cos sin )( sin cos ) 0 cos sin ( sin cos ) cos sin sin cos 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 − − = − + − = + − − = + − = − + − = − + − = + − − + − k k k a k k a k a k k k a k k k a k a k a k k k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k # 另一解法： (11)-(13) 2 sin ( ) 1 k2D k2a k1 e B F k a = + − (10)+(12) 2Dcosk a e (B F) k a 2 1 = + − k tgk a k (a) (10) (12) (11) (13) 2 2 = 1 + − (11)+(13) ik a k C k a k F B e 1 2 cos ( ) 2 2 1 − = − − (12)-(10) ik a 2 1 2Csin k a (F B)e − = − 令 = k2a， = k2a， 则 k ctgk a k （b） (12) (10) (11) (13) 2 2 1 = − − +
5t5=n sctgs =-n 72=(k2+k2) 2uU 合并(a)(b): 2k.k tg2k2a 利用g2k:a=2a 2-7一粒子在一维势阱 ∫Uo>0>a < 中运动,求束缚态(0<E<U)的能级所满足的方程 解:(最简方法-平移坐标轴法) yi+UoV,= Ey (x≤0) 1::h2 y2=Ey (0<x<2a) y+U0v3=Ev3(x≥2a) 2A(Uo-E yi 2正E y 2p(U0-E) Y3 0 v1=0(1)k2=2A(U0-E)/ v2+k2v2=0(2) 2/E/h2 束缚态0<E<U YI y2=Csin k,x Dcos k,x y 3=Ee+ F
ctg (d) tg (c) = − = 或 (f) 2 U a (k k ) 2 2 2 0 2 2 1 2 2 + = + = 合并 (a)、(b) ： 2 1 2 2 1 2 2 2 2 k k k k tg k a − = 利用 1 tg k a 2tgk a tg2k a 2 2 2 2 − = # 2-7 一粒子在一维势阱 = x a U x a U x 0, 0, ( ) 0 中运动，求束缚态 (0 ) E U0 的能级所满足的方程。 解：（最简方法-平移坐标轴法） Ⅰ： 1 0 1 1 2 2 − + U = E （χ≤0） Ⅱ： 2 2 2 2 − = E （0＜χ＜2 a ） Ⅲ： 3 0 3 3 2 2 − + U = E （χ≥2 a ） = − − + = = − − 0 2 ( ) 0 2 0 2 ( ) 2 3 0 3 2 2 2 2 1 0 1 U E E U E − = + = = − = = − k 0 (3) k 0 (2) k 2 E k 0 (1) k 2 (U E) 3 2 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 1 1 2 1 1 束缚态 0 ＜ E ＜ U0 k x k x k x k x Ee Fe C k x D k x Ae Be 1 1 1 1 3 2 2 2 1 sin cos + − + − = + = + = +
y1(-∞)有限→B=0 y3∞)有限 E=0 因此 YI W3=Fe 由波函数的连续性,有 v1(0)=v2(0,→A=D v(0)=v2(0),→k1A=k2C w2(2a)=y3(2a),k2 Ccos 2k, a-k, Dsin 2k, a=-k, Fe-K (6) y,(2a)=ya(2a)=Csin 2k, a+Dcos 2k,a= Fe- 4 (7)代入(6) Csin 2 k2 a+ Dcos 2K, ==4 Ccos 2k2 @+ Dsin 2k, a 利用(4)、(5),得 Asin 2k,a+A cos 2k,a=-Acos 2k,a+:Dsin 2k2 A[( k, k 2cos 2k,a]=0 A≠0 k )sin 2k,a+ 2cos 2k,a=0 两边乘上(-k1k2)即得 2k, k, cos 2k,a=0 2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为 0≤ U(x) x≤b, 求束缚态的能级所满足的方程。 解:势能曲线如图示,分成四个区域求解。 定态S-方程为
( ) 0 ( ) 0 3 1 = − = E B 有限 有限 因此 k x k x Fe Ae 1 1 3 1 − = = 由波函数的连续性，有 (2a) (2a), Csin 2k a Dcos 2k a Fe (7) (2a) (2a), k Ccos 2k a k Dsin 2k a k Fe (6) (0) (0), k A k C (5) (0) (0), A D (4) 2k a 2 3 2 2 2k a 2 3 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 − − = + = = − = − = = = = (7)代入(6) D k a k k C k a k k C k a D k a 2 1 2 2 1 2 sin2 2 + cos2 2 = − cos2 + sin2 利用(4)、(5)，得 (k k )sin 2k a 2k k cos 2k a 0 ( k k ) )sin 2k a 2cos 2k a 0 k k k k ( A 0 )sin 2k a 2cos 2k a] 0 k k k k A[( Dsin 2k a k k Asin 2k a Acos 2k a Acos 2k a k k 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 − − = − − + = − + = + = − + 两边乘上 即得 # 2.8 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为 − = ， ， ， ， 0, , , 0 , 0 ( ) 1 0 b x U a x b U x a x U x 求束缚态的能级所满足的方程。 解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。 定态 S-方程为
