量子力学
量子力学
第一讲:经典物理学的困难和光的波粒二象性 [教学目的] 1、了解经典物理学中某些难题解决中遇到的困难; 2、使学生掌握爱因斯坦的光量子假说; 3、掌握光的波粒二象性。 [教学重点及难点] 1、经典物理的几种观点的对比; 2、爱因斯坦的光量子假说的解释; 3、光的波粒二象性的解释 [教学内容] 量子论的应用前景、内容及特点 量子论的应用前景 量子力学的基本内容 量子力学与经典物理的差别 二、经典物理学的困难 1、维恩和瑞利-金斯的黑体辐射公式 维思位移公式 λnx·T=常数 (1.1) 维思公式 P,dv=Gexpl-C2rlv'dv T (12) 瑞利-金斯公式 p dv ckt vdv (13) 瑞利金斯公式与维恩公式刚好相反,只在低频时与实验结果符合,而在高 频时与实验结果不符 2、普朗克的展体辐射公式 为了解决经典物理遇到的这个困难,1900年10月,普朗克给出了一个 两参数经验公式 (14) exp c2 在高频区域,与维恩公式完全一致
第一讲：经典物理学的困难和光的波粒二象性 [教学目的] 1、了解经典物理学中某些难题解决中遇到的困难； 2、使学生掌握爱因斯坦的光量子假说； 3、掌握光的波粒二象性。 [教学重点及难点] 1、经典物理的几种观点的对比； 2、爱因斯坦的光量子假说的解释； 3、光的波粒二象性的解释。 [教学内容] 一、量子论的应用前景、内容及特点 量子论的应用前景 量子力学的基本内容 量子力学与经典物理的差别 二、经典物理学的困难 1、 维恩和瑞利-金斯的黑体辐射公式 维恩位移公式 λmax ⋅T =常数 （1.1） 维恩公式 ν ν ν ρνdν exp d 3 1 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − T c c （1.2） 瑞利-金斯公式 ν ν π ρν ν d 8 d 2 3 c kT = （1.3） 瑞利-金斯公式与维恩公式刚好相反，只在低频时与实验结果符合，而在高 频时与实验结果不符。 2、 普朗克的黑体辐射公式 为了解决经典物理遇到的这个困难，1900 年 10 月，普朗克给出了一个 两参数经验公式 ν ν ν ρ ν ν d exp 1 d 3 2 1 ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = T c c （1.4） 在高频区域，与维恩公式完全一致。 １
在低频区域,与瑞利金斯公式一致 普朗克量子假说:对于一定频率V的辐射,物体只能以hv为能量单 位吸收或发射它,h是一个普适常数。换句话说,物体吸收或发射电磁辐射 时,只能以量子的方式进行,每个量子的能量为 e=h (19) 普朗克公式 prdus8rh d v hv (1.10) kT 3、普朗克常数 h 105457266×10-34Js (1.12) 4、光电效应 1877年,赫兹( Hertz)证明了紫外光对放电的影响,从而导致在实验 上发现了光电效应。光电效应的实验现象是:当用紫外光照射到某些金属(例 如,钠)的表面上时,立刻就会有电子的发射,于是在电路中有电流通过。 由于电子是由光引发的,故称之为光电子 、光的波粒二象性 1、爱因斯坦的光量子假说 爱因斯坦为了解释光电效应大胆地提出了光量子的概念。他认为光(电 磁辐射)是由光量子组成,每个光量子的能量E与辐射频率v的关系是 E=hv (1.14) 此即爱因斯坦的光量子假说。1916年,爱因斯坦给出的这个关系被实验所证 实 同时给出了光量子的动量与辐射波长的关系为 h 2、光的波粒两象性 爱因斯坦的光量子论改变了传统的观念,它认为光在传播的过程中表现 出波动的性质,而光在与物质相互作用时则具有粒子的性质,此即光的波动 粒子两象性,简称光的波粒两象性
在低频区域，与瑞利-金斯公式一致。 普朗克量子假说：对于一定频率ν 的辐射，物体只能以 hν 为能量单 位吸收或发射它，h是一个普适常数。换句话说，物体吸收或发射电磁辐射 时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为 ε = hν （1.9） 普朗克公式 ν ν π ν ρν ν d exp 1 8 d 3 3 ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = kT c h h （1.10） 3 、普朗克常数 1.05457266 10 J s 2 34 ≡ = × ⋅ − π h = （1.12） 4、光电效应 1877 年，赫兹（Hertz）证明了紫外光对放电的影响，从而导致在实验 上发现了光电效应。光电效应的实验现象是：当用紫外光照射到某些金属（例 如，钠）的表面上时，立刻就会有电子的发射，于是在电路中有电流通过。 由于电子是由光引发的，故称之为光电子。 二、光的波粒二象性 1、爱因斯坦的光量子假说 爱因斯坦为了解释光电效应大胆地提出了光量子的概念。他认为光（电 磁辐射）是由光量子组成，每个光量子的能量 E 与辐射频率ν 的关系是 E = hν （1.14） 此即爱因斯坦的光量子假说。1916 年，爱因斯坦给出的这个关系被实验所证 实。 同时给出了光量子的动量与辐射波长的关系为 λ h p = （1.15） 2、光的波粒两象性 爱因斯坦的光量子论改变了传统的观念，它认为光在传播的过程中表现 出波动的性质，而光在与物质相互作用时则具有粒子的性质，此即光的波动 -粒子两象性，简称光的波粒两象性 ２
第二讲:玻尔理论和粒子的波粒二象性 教学目的] 1、了解原籍光谱的分布; 2、掌握玻尔理论的主要内容; 3、重点掌握德布洛意的物质波假设; 4、掌握一般粒子的波粒二象性。 [教学重点及难点] 1、玻尔理论的解释 2、德布洛意对物质波的假定; 3、粒子的波粒二象性 [教学内容] 原子光谱 巴耳末公式 (2.1) n=1为莱曼( Lyman)线系、n=2为巴耳末线系和n=3为帕邢( Paschen) 线系。 光谱项的整数函数 CR (2.2) 并合规则 7(n)-7(m) (2.3) 、玻尔的量子论 1、玻尔的量子假说 玻尔量子论包括如下两个极为重要的假设: a、定态假定:原子只能够稳定地存在于与分立的能量相应的一系列状 态中,即原子的能量是量子化的,这些状态称为定态。 跃迁假定:原子在能量分别为En和En的两个定态之间跃迁时 发射或吸收的电磁辐射的频率v满足如下的关系式 hy=E-e 光谱项的整数函数
第二讲：玻尔理论和粒子的波粒二象性 [教学目的] 1、了解原籍光谱的分布； 2、掌握玻尔理论的主要内容； 3、重点掌握德布洛意的物质波假设； 4、掌握一般粒子的波粒二象性。 [教学重点及难点] 1、玻尔理论的解释； 2、德布洛意对物质波的假定； 3、粒子的波粒二象性。 [教学内容] 一、原子光谱 巴耳末公式 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = −2 2 1 1 n m ν nm cRH （2.1） n =1为莱曼（Lyman）线系、n = 2为巴耳末线系和 n = 3为帕邢（Paschen） 线系。 光谱项的整数函数 2 ( ) n cR T n H = （2.2） 并合规则 T(n) T(m) νnm = − （2.3） 二、玻尔的量子论 1、玻尔的量子假说 玻尔量子论包括如下两个极为重要的假设： a、定态假定： 原子只能够稳定地存在于与分立的能量相应的一系列状 态中，即原子的能量是量子化的，这些状态称为定态。 B、跃迁假定： 原子在能量分别为 和 的两个定态之间跃迁时， 发射或吸收的电磁辐射的频率 En E m ν 满足如下的关系式 En Em hν = − （2.4） 光谱项的整数函数 ３
E (2.5) 2、玻尔-索莫菲量子化条件 玻尔角动量量子化条件(旧量子论) 即作圆周运动的电子的角动量J只能是h的整数倍, 1.2.3 (2.6) 玻尔-索末菲量子化条件 Pk aqk 1,2,3, (2.7) 三、德布洛意物质波假设 德布洛意假定:包括光子在内的所有的粒子在运动中都既表现出粒子的 行为,也表现出波动的行为。此即波粒两象性的完整表述。将其用公式表示 出来,称之为德布洛意关系 E=he 九k (2.8) 物质波或德布洛意波:与粒子运动相联系的波称为。 对于自由运动粒子而言, E 2 .9) 相应的德布洛意波长为 h (2.10) 2 mE 四、物质波假设的实验验证 1925年,戴维逊( Davisson)和革末( Germer)用一束具有一定能量和 动量的电子射向镍片,试图得到电子的衍射图案。但是,总是不能如愿。由 于一次偶然事故的发生,改用镍单晶代替多晶镍片,使他们成功地完成了电 子的衍射实验,得到了与X射线衍射图形非常相似的衍射图形。后来,随着 实验手段的不断改善,其它的粒子(中子、质子、中性原子等)的衍射图形 陆续被发现,从而,德布洛意的物质波假设得到了实验验证
h E T n n ( ) = − （2.5） 2、玻尔-索莫菲量子化条件 玻尔角动量量子化条件（旧量子论） 即作圆周运动的电子的角动量 J 只能是 = 的整数倍， J = n= , n = 1,2,3," （2.6） 玻尔-索末菲量子化条件 ∫ pkdqk = hnk , nk =1,2,3," （2.7） 三、德布洛意物质波假设 德布洛意假定：包括光子在内的所有的粒子在运动中都既表现出粒子的 行为，也表现出波动的行为。此即波粒两象性的完整表述。将其用公式表示 出来，称之为德布洛意关系： E = =ω ； p k G = G = （2.8） 物质波或德布洛意波：与粒子运动相联系的波称为。 对于自由运动粒子而言， m p E 2 2 = （2.9） 相应的德布洛意波长为 mE h 2 λ = （2.10） 四、 物质波假设的实验验证 1925 年，戴维逊（Davisson）和革末（Germer）用一束具有一定能量和 动量的电子射向镍片，试图得到电子的衍射图案。但是，总是不能如愿。由 于一次偶然事故的发生，改用镍单晶代替多晶镍片，使他们成功地完成了电 子的衍射实验，得到了与 X 射线衍射图形非常相似的衍射图形。后来，随着 实验手段的不断改善，其它的粒子（中子、质子、中性原子等）的衍射图形 陆续被发现，从而，德布洛意的物质波假设得到了实验验证。 ４
第三讲:本章小结,例题及习题选讲 [本章小结] 1、玻尔量子论两个主要假定 ·2、德布洛意物质波假定; 3、光的波粒二象性 德布罗意波长的计算 5、玻尔角动量量子化条件 6、爱因斯坦光量子论。 [例题讲解] 例题11设有一个体重为m=50kg的短跑运动员,以v=10m·s-的速 度运动,求其相应的德布洛意波长。 例题1.2求能量为keV的自由电子的德布洛意波长。 [习题选讲] 习题1.1设一个电子被电压所加速,若电子的动能转化为一个光子,求 习题1.2求下列各粒子相关的德布洛意波长 1、能量为100cV的自由电子; 能量为0.leV的自由中子 3、能量为0.leV的质量为1g的质点; 温度T=K时,具有动能E=3k7的氮原子。 [作业题及思考题] 作业题1.1由黑体辐射公式导出维恩位移定律,即凡mT=b,并计算出 常数b的近似值。 作业题1.2利用玻尔-素末菲量子化条件求限制在方形箱内运动粒子的能 量,箱的长、宽和高分别为a、b和C 作业题1.3利用玻尔索末菲量子化条件求转动惯量为Ⅰ的平面转子的能
第三讲：本章小结，例题及习题选讲 [本章小结] •1、玻尔量子论两个主要假定； •2、德布洛意物质波假定 ； •3、光的波粒二象性； •4、德布罗意波长的计算； •5、玻尔角动量量子化条件； •6、爱因斯坦光量子论。 [例题讲解] 例题 1.1 设有一个体重为 的短跑运动员，以 的速 度运动，求其相应的德布洛意波长。 m = 50 kg 1 10 m s − v = ⋅ 例题 1.2 求能量为1keV 的自由电子的德布洛意波长。 [习题选讲] 习题 1.1 设一个电子被电压V 所加速，若电子的动能转化为一个光子，求 习题 1.2 求下列各粒子相关的德布洛意波长 1 、能量为100 eV 的自由电子； 2 、能量为 0.1eV 的自由中子； 3 、能量为 0.1eV 的质量为1g 的质点； 4 、温度T = 1K 时，具有动能 E kT 2 3 = 的氦原子。 [作业题及思考题] 作业题 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律，即 T b λ m = ，并计算出 常数 b 的近似值。 作业题 1.2 利用玻尔-索末菲量子化条件求限制在方形箱内运动粒子的能 量，箱的长、宽和高分别为 a、b 和 c 。 作业题 1.3 利用玻尔-索末菲量子化条件求转动惯量为 I 的平面转子的能 量。 ５
第四讲:波函数的统计解释和状态叠加原理 [教学目的] 1、了解波粒二象性的解释; 2、使学生重点掌握几率波的诠释; 3、掌握力学量平均值的求法及波函数的归一化; 4、掌握状态叠加原理的主要内容。 [教学重点及难点] 1、几率波的概念; 2、波函数的归一化过程; 3、状态叠加原理得解释。 [教学内容] 波函数的统计诠释 1、波粒两象性的解释 德布洛意的物质波假设的实质是:认为所有运动的实物粒子都既具有粒 子的性质又表现出波动的性质,就是所谓的实物粒子的波粒两象性 著名物理学家费曼( Feynman)指出:电子既不是粒子,也不是波 2、玻恩的几率波诠释(第一个基本原理) 玻恩认为:不论是德布洛意的物质波,还是薛定谔的波函数都不是什么 实在的物理量的波动,只不过是描述粒子在空间的几率分布的几率波而已。 此即玻恩对波函数的几率波解释 对于电子而言 dw()=dur)dr=cy()yrldr dH()表示在点处的体积元dr内发现粒子的几率,V()就是电子 坐标的几率密废,而v()是电子坐标的几率振幅 状态 1、状态与力学量取值几率
第四讲：波函数的统计解释和状态叠加原理 [教学目的] 1、了解波粒二象性的解释； 2、使学生重点掌握几率波的诠释； 3、掌握力学量平均值的求法及波函数的归一化； 4、掌握状态叠加原理的主要内容。 [教学重点及难点] 1、几率波的概念； 2、波函数的归一化过程； 3、状态叠加原理得解释。 [教学内容] 一、 波函数的统计诠释 1、波粒两象性的解释 德布洛意的物质波假设的实质是：认为所有运动的实物粒子都既具有粒 子的性质又表现出波动的性质，就是所谓的实物粒子的波粒两象性。 著名物理学家费曼（Feynman）指出：电子既不是粒子，也不是波 2、玻恩的几率波诠释（第一个基本原理） 玻恩认为：不论是德布洛意的物质波，还是薛定谔的波函数都不是什么 实在的物理量的波动，只不过是描述粒子在空间的几率分布的几率波而已。 此即玻恩对波函数的几率波解释。 对于电子而言 d ( ) ψ( ) dτ ψ ( )ψ( )dτ * 2 W r c r c r r G G G G = ≡ dW(r) G 表示在 r G 点处的体积元 dτ 内发现粒子的几率， 2 (r) G ψ 就是电子 坐标的几率密度，而 (r ) G ψ 是电子坐标的几率振幅。 二、状态 1、状态与力学量取值几率 ６
a、力学量取断续值的情况 力学量F的平均值或者期望值记为F F=∑Fm,W(Fm (44) b、力学量取连续值的情况 力学量F的平均值或者期望值的平均值为 ∫drw(;i 显然,微观粒子的波函数v(,1)可以表征它所处的状态。 波函数的归一化 两个相差一个复常数的波函数描述的是同一个状态 归一化条件 ∫or;o)dz=1 (413) 归一化常数 6=[uv. 0) dr]i (4.14) 三、状态叠加原理 状态叠加原理(第二个基本原理) 若体系具有一系列不同的可能状态v1,v2,v3,…,Vn,则这些可能 状态的任意线性组合 V=c+c2v2+c3V3+…+cn Cmln (4.16) 也一定是该体系的一个可能的状态。 单色平面波
a、力学量取断续值的情况 力学量 F 的平均值或者期望值记为 F ∑= = ⋅ n m F Fm W Fm 1 ( ) （4.4） b、力学量取连续值的情况 力学量 F 的平均值或者期望值的平均值为 2 2 ˆ d ( , ) ˆ d ( , ) F r t F r t τ ψ τ ψ = ∫ ∫ G G （4.10） 显然，微观粒子的波函数 (r, t) G ψ 可以表征它所处的状态。 2、波函数的归一化 两个相差一个复常数的波函数描述的是同一个状态 归一化条件 ∫ ( , ) d =1 2 ϕ r t τ G (4.13) 归一化常数 ( ) [ ] δ ψ τ 2 i 1 2 ( , ) d e − ∫ c t = r t G (4.14) 三、状态叠加原理 状态叠加原理（第二个基本原理） 若体系具有一系列不同的可能状态ψ ψ ψ ψ n , , , , 1 2 3 " ，则这些可能 状态的任意线性组合 ∑= = + + + + = n m n n m m c c c c c 1 ψ 1 ψ1 2 ψ2 3 ψ3 " ψ ψ （4.16） 也一定是该体系的一个可能的状态。 单色平面波 ７
5(,1)=-1 (·F-Et (4.18) (2m) 任意的波函数 Y(,)=]o(p,twa( D dp= dpc(P, Dexp (p-F-Et)(4 (2m) 傅立叶( Fourier)变换 o(p, t) (2m)2
( ) ( )⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ r t = p ⋅r − Et p G G = = G G i exp 2 1 ( , ) 2 3 π ψ (4.18) 任意的波函数 ( ) ( ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ −∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Ψ r t = Φ p t r t p = pΦ p t p ⋅r − Et p G G = G G = G G G G G i d ( , )exp 2 1 ( , ) ( , ) ( , )d 2 3 π ψ ) (4.19) 傅立叶（Fourier）变换 ( ) ( ) ∫ ∞ −∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Φ p t = rΨ r t − p ⋅r − Et G G = G G = G i d ( , )exp 2 1 ( , ) 2 3 π (4.20) ８
第五讲: Schrodinger方程 [教学目的] 1、了解薛定谔方程的建立; 2、了解薛定谔方程的适用条件 3、掌握自由粒子薛定谔方程的形式 [教学重点及难点] l、薛定谔方程的适用条件的讨论; 2、自由粒子的薛定谔方程。 [教学内容] 薛定谔方程的建立 薛定谔波动方程(第三个基本原理 若要考察体系状态随时间的变化,则波函数必须含有时间变量I,即用 v(,1)来描述运动状态。为了反映运动状态(,)随时间的变化,薛定 谔建立了一个非相对论的波动方程(即萨定谔波动方程),从而完成了从经 典物理到量子物理的第三个飞跃。 、薛定谔方程的适用条件 建立薛定谔方程时的两个基本前提 1.粒子以较慢的速度v(v<<c)运动,只适用于低能粒子的体系; 2.粒子数守恒 、薛定谔方程的建立 自由粒子能量E与动量P的关系 E 51) 角频率O和波矢k E (52)
第五讲：Schrodinger 方程 [教学目的] 1、了解薛定谔方程的建立； 2、了解薛定谔方程的适用条件； 3、掌握自由粒子薛定谔方程的形式。 [教学重点及难点] 1、薛定谔方程的适用条件的讨论； 2、自由粒子的薛定谔方程。 [教学内容] 一、薛定谔方程的建立 薛定谔波动方程（第三个基本原理） 若要考察体系状态随时间的变化，则波函数必须含有时间变量 t ，即用 (r,t) G ψ 来描述运动状态。为了反映运动状态 (r,t) G ψ 随时间的变化，薛定 谔建立了一个非相对论的波动方程（即薛定谔波动方程），从而完成了从经 典物理到量子物理的第三个飞跃。 二、薛定谔方程的适用条件 建立薛定谔方程时的两个基本前提 1. 粒子以较慢的速度 v ( v << c) 运动，只适用于低能粒子的体系； 2. 粒子数守恒 三、薛定谔方程的建立 自由粒子能量 E与动量 p G 的关系 m p E 2 2 = (5.1) 角频率ω 和波矢 k G = E ω = ； = G G p k = (5.2) ９
