连续统 你们知道,即使是整数的平方根也是适当选择的有理数序列 “近似根”)的极限,在另外的情形下也是这样的 根据上述,为了更具体地认识连续统理论的构造,没有 必要在细节上去研究所有这些不同的论证方法,而取其中的 一个作为模型就完全够了.我们在这里将要看到的所有原则 上重要的东西对其他理论都是问样的、我们今后将选择 Dedekind理论并不是因为它有什么它对其他理论本质上的 优越性,而只是一种纯粹外在的理由:占压倒多数的最通用 的教科书都采用它,因而对读者来说不难寻找帮助,读者在 那些书里能够了解我们的表述中漏掉的细节 1.在着手引入无理数之前,我们应当比较仔细地观察 下我们以R来表示的有理数的集合.首先我们来注意该集合 的一个很初等的性质:在任何两个有理数r1和r2之间总可以 找到第三个有理数最为简单的是,注意到和的一半互十 永远是位于n和r2之间的有理数,就可以明白这一点作为 这一事实的推论,我们对它重复应用马土就得出:在n1和r2 之间始终包含有有理数的无穷集 2.现在我们注意观察在我们试图寻找或者定义√2时 产生的那种情况(我们取的是正根),我们首先在有理数中 (对我们来说任何其他的数暂时还不存在)找这样的数,它的 平方等于数2,且容易发现,这种(有理)数不存在(我们在 这里将不进行中学教程中对此一事实的熟知的算术证明)这 就表明:无论我们选择什么样的有理数,我们都将有2<2, 或者r2>2.我们首先只研究正有理数的情形按照刚刚研究 的法则它们自然地分成两类:这样的正有理数r所成的A 类,其中r12<2,以及这样的正有理数r2所成的B类,对于 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cnPDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn