高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 5∈(a,b).于是 f5)=fr)=1imf)-f组20， x→x-5 f'(分=f(5)=lim f-f且<0， x-→5+ x-5 所以f'(x)=0. 罗尔定理的几何意义： 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理如果函数fx)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内 至少有一点(a<b),使得等式 Ab)-fa)=f(9(b-a) 成立 拉格朗日中值定理的几何意义： f"(分=)-1@ b-a 定理的证明：引进辅函数 a吵fb-f@(r-a. b-a 容易验证函数x)适合罗尔定理的条件：(a)=(b)=0,(x)在闭区间[a,b]上连续在开区间(a,b)内可导， 且 (x)-f()-I(b)-I(a) b-a 根据罗尔定理，可知在开区间(a,b)内至少有一点台，使p'()=0,即 f(9分⑥-f@-0. b-a 由此得 fb-f@=f'(9, b-a 即 b)-a)=f'((b-a). 定理证毕 b)-a)=f'(b-a叫做拉格朗日中值公式.这个公式对于b<a也成立. 拉格朗日中值公式的其它形式： 设x为区间[a,b]内一点，x+△x为这区间内的另一点（△x>0或△x<O),则在x,x+△x](△>0）或 [x+△x,x](△x<O)应用拉格朗日中值公式，得 fx+△x)-x)=f'(x+△r)·△x(0KI). 2