思考题和习题解答 的。 解:宏观物体的状态是用坐标和动量描述的,状态的变化遵循牛顿 力学。力学量与状态(坐标和动量)间具有确定的函数关系。微观粒子 状态是用波函数来描述的,状态的变化遵循量子力学。每一个力学量 F都对应着一个算符F,力学量的统计平均值(F)与状态(波函数y) 的关系由下式计算(F)= jy'Fy dr 4.为什么波函数必须是品优函数。 解:品优函数要求函数是单值的、对坐标是连续可微的、并且是平 方可积的,即函数平方对全空间积分是有限的。波函数是描述粒子运动 状态的函数,是薛定谔方程的解,必须满足有关物理意义和数学要求 波函数的平方代表粒子在空间某处的概率,概率有确定值,因此波函数 定是单值函数;空间的概率和必为有限值,因此波函数平方对空间积 分必定是有限值;薛定谔方程是波函数对坐标的二阶偏微分方程,因此 要求波函数连续可微,因为只有波函数和波函数对坐标的一阶偏导数连 续,才能保证其二阶偏导数存在。 5.力学量算符的本征函数是否就是波函数 解:力学量算符的本征函数不一定是波函数。只有与哈密顿算符 可以对易的力学量算符的本征函数才是波函数。例如动量算符p与H 不可对易,它的本征函数就不是波函数,而动量平方算符与H可对 易,波函数就是它的本征函数。 6.微观粒子的波函数与经典波函数有什么不同。试从振幅与能量 的关系,波的叠加等方面进行讨论 解:微观粒子的波函数与经典波函数有类似之处,但也有原则差异。 首先物质波振幅的平方正比于粒子在空间的强度以及在空间出现的概 率密度,而经典波振幅的平方只代表波的强度。再从波的叠加来说,虽 然两者都遵循波的叠加原理,但也有差别。经典波叠加后,形成新的状 态,具有新的能量。而物质波叠加后,一般形成了一种混合状态,由v1、·156· 思考题和习题解答 的。 解：宏观物体的状态是用坐标和动量描述的，状态的变化遵循牛顿 力学。力学量与状态（坐标和动量）间具有确定的函数关系。微观粒子 的状态是用波函数来描述的，状态的变化遵循量子力学。每一个力学量 F 都对应着一个算符 Fˆ ，力学量的统计平均值 F 与状态（波函数Ψ ） 的关系由下式计算 Ψ Ψ dτ ˆ * F F ∫ = 。 4. 为什么波函数必须是品优函数。 解：品优函数要求函数是单值的、对坐标是连续可微的、并且是平 方可积的，即函数平方对全空间积分是有限的。波函数是描述粒子运动 状态的函数，是薛定谔方程的解，必须满足有关物理意义和数学要求。 波函数的平方代表粒子在空间某处的概率，概率有确定值，因此波函数 一定是单值函数；空间的概率和必为有限值，因此波函数平方对空间积 分必定是有限值；薛定谔方程是波函数对坐标的二阶偏微分方程，因此 要求波函数连续可微，因为只有波函数和波函数对坐标的一阶偏导数连 续，才能保证其二阶偏导数存在。 5. 力学量算符的本征函数是否就是波函数。 解：力学量算符的本征函数不一定是波函数。只有与哈密顿算符 Hˆ 可以对易的力学量算符的本征函数才是波函数。例如动量算符 x pˆ 与 Hˆ 不可对易，它的本征函数就不是波函数，而动量平方算符 2 ˆpx 与 Hˆ 可对 易，波函数就是它的本征函数。 6. 微观粒子的波函数与经典波函数有什么不同。试从振幅与能量 的关系，波的叠加等方面进行讨论。 解：微观粒子的波函数与经典波函数有类似之处，但也有原则差异。 首先物质波振幅的平方正比于粒子在空间的强度以及在空间出现的概 率密度，而经典波振幅的平方只代表波的强度。再从波的叠加来说，虽 然两者都遵循波的叠加原理，但也有差别。经典波叠加后，形成新的状 态，具有新的能量。而物质波叠加后，一般形成了一种混合状态，由ψ 1