示螺线每相邻两卷之间的面积。证明S1,S2,…成等差数列。 证根据极坐标形式下的面积计算公式,先求出 A g (a0) de a2r(3k2+3k+1) 注意到 S0=A0,S1=A1-A0,S2=A2-A 故得 S,=A-A a2n3(3k2+3k+1)-(3k2-3k+1 =8a2丌3kk=12 由此可见S1,S2…成等差数列,公差为8a2r3 注意不要把A4误认为S4因为A4表示矢径从=2至=2kx+2x所扫过的面 积,它不仅扫过了S4,同时还扫过了S0,S1,…,S1 例4试求由参数方程 表示的曲线所围成图形的面积。 分析由 x=1(2-1),y=t2(2-D) 看出x(0)=x(2)=0,y(0)=y(2)=0.说明参数由t=0递增至t=2时,曲线上的动点从坐标原 点出发又回到坐标原点(该曲线的图像示于图10-13)。 解根据以上分析和前面在图10-6中给出的计算公式,便可求得该曲线所围成平面图 形的面积: 4=(2r2-r')21-1)dd示螺线每相邻两卷之间的面积。证明 S1 , S2 ,  成等差数列。 证 根据极坐标形式下的面积计算公式，先求出：  + =     (2 2) 2 2 ( ) 2 1 k k Ak a d (3 3 1), 3 4 2 3 2 = a  k + k + k = 0,1,2,  . 注意到 , , , , S0 = A0 S1 = A1 − A0 S2 = A2 − A1  故得 Sk = Ak − Ak −1 [(3 3 1) (3 3 1)] 3 4 2 3 2 2 = a  k + k + − k − k + = 8a 2  3 k, k =1,2,  由此可见 S1 , S2 ,  成等差数列，公差为 8 . 2 3 a  注意 不要把 Ak 误认为 . k S 因为 Ak 表示矢径从  = 2k 至  = 2k + 2 所扫过的面 积，它不仅扫过了 k S ，同时还扫过了 , , , . S0 S1  Sk −1 例 4 试求由参数方程 2 2 3 x = 2t − t , y = 2t − t 表示的曲线所围成图形的面积。 分析 由 (2 ), (2 ) 2 x = t − t y = t − t 看出 x(0) = x(2) = 0, y(0) = y(2) = 0. 说明参数由 t = 0 递增至 t = 2 时，曲线上的动点从坐标原 点出发又回到坐标原点（该曲线的图像示于图 10-13）。 解 根据以上分析和前面在图 10-6 中给出的计算公式，便可求得该曲线所围成平面图 形的面积：  = − −  2 0 2 3 2 A (2t t )(2t t ) dt  = − − 2 0 2 3 2 (2t t )(1 t)dt  = − + 2 0 4 3 2 2 (t 3t 2t )dt . 15 8 15 4 = 2 − =