二拉格朗日方程 10 4mr20)=0 第二个式子即为角动量守恒，记0=m2,代入第一个式子可得 m=慕-o 从而即可求解r。 阿特伍德机 无摩擦滑轮两端悬挂质量m1,m2物体，设绳竖直部分！长，m1上方长工，则 L=m:+m)2+mgr+m2g1-） 代入拉格朗日方程即解出 弹簧单摆 质量M,原长α水平弹簧一端挂线长1单摆，小球质量m,以弹簧长度变化x与单摆角度0作广义坐标 则计算可得 L=M+m(+1cos902+Qsin902)）-5kx2-m6 于是代入拉格朗日方程得 (M+m)+ml cos00-ml sin002 =-kx ml cos+ml20=-mgl sin0 *小振动时si血日≥，cs01，于是可得到线性常微分方程组，通过特征值解得固有频率 峰=（6+(（1+a)±√6-2+2n(6+i号 这里a=晋，w哈=意，好= 双摆 单摆末端连接另一单摆，已知1，m,2,m,以0，为广义坐标，则 1=h sin0,r2=h sin+lsin h=-41c0s91,期=-41c0s91-l2c0sA2 于是列出拉格朗日量后可解出 l,d+mh(cos(0-0a)8+sin(8-0)02）+9sin8=0 h cos(01 -02)01 +1a02 -li sin(01-02)03 +gsin 2 =0 *类似代数处理得到小振动时可得简正频率为 4=喝=号 =0-)±0-卵+a=m平nm8=会二 拉格朗日方程 10 d dt (mr2 ˙θ) = 0 第二个式子即为角动量守恒，记 pθ = mr2 ˙θ，代入第一个式子可得 mr¨ = p 2 θ mr3 − V ′ (r) 从而即可求解 r。 阿特伍德机 无摩擦滑轮两端悬挂质量 m1, m2 物体，设绳竖直部分 l 长，m1 上方长 x，则 L = 1 2 (m1 + m2) ˙x 2 + m1gx + m2g(l − x) 代入拉格朗日方程即解出 x¨ = m1 − m2 m1 + m2 g 弹簧单摆 质量 M，原长 a 水平弹簧一端挂线长 l 单摆，小球质量 m，以弹簧长度变化 x 与单摆角度 θ 作广义坐标， 则计算可得 L = 1 2 Mx˙ 2 + 1 2 m ￾ ( ˙x + l cos θ ˙θ) 2 + (lsin θ ˙θ 2 )
− 1 2 kx2 − mgl cos θ 于是代入拉格朗日方程得    (M + m)¨x + ml cos θ ¨θ − mlsin θ ˙θ 2 = −kx ml cos θx¨ + ml2 ¨θ = −mglsin θ * 小振动时 sin θ ≃ θ, cos θ ≃ 1，于是可得到线性常微分方程组，通过特征值解得固有频率 ω 2 ± = 1 2 (ω 2 0 + (1 + α)ω 2 1 ) ± 1 2 q (ω 2 0 − ω 2 1 ) 2 + 2α(ω 2 0 + ω 2 1 )ω 2 1 这里 α = m M , ω2 0 = k M , ω2 1 = g l 。 双摆 单摆末端连接另一单摆，已知 l1, m1, l2, m2，以 θ1, θ2 为广义坐标，则 x1 = l1 sin θ1, x2 = l1 sin θ1 + l2 sin θ2 y1 = −l1 cos θ1, y2 = −l1 cos θ1 − l2 cos θ2 于是列出拉格朗日量后可解出    l1 ¨θ1 + m2l2 m1+m2 ￾ cos(θ1 − θ2) ¨θ2 + sin(θ1 − θ2) ˙θ2
+ g sin θ1 = 0 l1 cos(θ1 − θ2) ¨θ1 + l2 ¨θ2 − l1 sin(θ1 − θ2) ˙θ1 + g sin θ2 = 0 * 类似代数处理得到小振动时可得简正频率为 ω± = ω0 1 + r± , ω2 0 = g l1 r± = 1 2 (β − 1) ± 1 2 p (1 − β) 2 + 4αβ, α = m2 m1 + m2 , β = l1 l2