若证得supE=b,即得f(x)在[a,b]上有界(见后面范例4 §3上极限和下极限 问题有些数学分析教材中用(xm作为上(下)极限的定义而在我们的教材中 是用最大(小)聚点来定义上(下)极限的试比较这两种定义方式的不同特点? 答(1)存在性证明方面mmb的存在性是用确界原理与单调有界定理来证明的而 最大(小)聚点的存在性是用区间套定理来证明的 2)直观认识方面前者是用确界的极限来表示的,其描述形式是一种十分抽象的数列极限;而后者 具有较强的直观几何意义 (3)应用方面:一般说,利用前者在证明与上、下极限有关的不等式时较为方便(见范例3、4);而 后者对寻找具体数列的上、下极限较为方便,只要找出所有收敛子列极限中的最大(小)者即可(见 范例5,教材习题1) 第八章不定积分 §1基本积分公式与换元积分法 问题1原函数与不定积分这两个概念有何不同?有何联系? 答两者是个体与整体的关系,如果F(x)是貟x)在区间I上的一个原函数,那么f(x)在I上的 不定积分就是所有原函数的集合,即 ∫(xM=(x)+C为任意实数 这种关系反映在几何意义上(见教材第179页中图81)就是某一条积分曲线y=F(x)与所有积分曲线 族y=F(x)+C的关系。 正因为不定积分是所有原函数的集合,所以有关不定积分的各种等式(如前面的(1.2),(1.3), (14),都应理解为两个集合的相等 问题2为什么原函数的定义中规定自变量的变化范围必须是一个区间,而不是一般的数集? 或几个区间的并集? 答首先,原函数概念是与导函数密切相关的,而在一般的数集上往往无法进行求导数,再有 原函数的一个最根本的性质是:“f(x)在一个区间上的任意两个原函数之间只相差一个常数。”而这个 性质来源于微分中值定理的一个推论:“若在一个区间上F(x)=0,则在这个区间上F(x)=C所以 在原函数的定义中作出了“在一个区间上”的规定,而且在此基础上定义的不定积分才是明确无误 的,即f(x)在一个区间I上的所有原函数只能是F(x)+C(F(x)是fx)在I上的任一原函数 问题3怎样从“方程求解”的数学角度上去认识不定积分与原函数? 答类似于和式方程x+b=a的解是x=b-a,乘式方程ay=b的解是y=-,并由此引入了减法与若证得 sup E = b, 即得 f (x) 在 a,b 上有界.(见后面范例 4). §3 上极限和下极限 问题 有些数学分析教材中用   xk  n k n k n k n x limsup liminf   → → 作为上（下）极限的定义,而在我们的教材中 是用最大（小）聚点来定义上（下）极限的,试比较这两种定义方式的不同特点? 答 (1)存在性证明方面   xk  n k n k n k n x limsup liminf   → → 的存在性是用确界原理与单调有界定理来证明的;而 最大(小)聚点的存在性是用区间套定理来证明的. (2)直观认识方面:前者是用确界的极限来表示的,其描述形式是一种十分抽象的数列极限;而后者 具有较强的直观几何意义. (3)应用方面:一般说,利用前者在证明与上、下极限有关的不等式时较为方便（见范例 3、4）；而 后者对寻找具体数列的上、下极限较为方便，只要找出所有收敛子列极限中的最大（小）者即可（见 范例 5,教材习题 1）. 第八章 不定积分 §1 基本积分公式与换元积分法 问题 1 原函数与不定积分这两个概念有何不同？有何联系？ 答 两者是个体与整体的关系，如果 F（x）是 f(x)在区间 I 上的一个原函数，那么 f(x)在 I 上的 不定积分就是所有原函数的集合，即  f (x)dx = F(x)+ CC为任意实数 这种关系反映在几何意义上（见教材第 179 页中图 8-1）就是某一条积分曲线 y=F(x)与所有积分曲线 族 y=F(x)+C 的关系。 正因为不定积分是所有原函数的集合，所以有关不定积分的各种等式（如前面的（1.2），（1.3）， （1.4），都应理解为两个集合的相等。 问题 2 为什么原函数的定义中规定自变量的变化范围必须是一个区间，而不是一般的数集？ 或几个区间的并集？ 答 首先，原函数概念是与导函数密切相关的，而在一般的数集上往往无法进行求导数，再有， 原函数的一个最根本的性质是：“f(x)在一个区间上的任意两个原函数之间只相差一个常数。”而这个 性质来源于微分中值定理的一个推论：“若在一个区间上 ( ) 0 ' F x  ，则在这个区间上 F(x)  C .”所以 在原函数的定义中作出了“在一个区间上”的规定，而且在此基础上定义的不定积分才是明确无误 的，即 f(x)在一个区间 I 上的所有原函数只能是 F（x）+C（F（x）是 f(x)在 I 上的任一原函数）。 问题 3 怎样从“方程求解”的数学角度上去认识不定积分与原函数？ 答 类似于和式方程 x+b=a 的解是 x=b-a，乘式方程 ay=b 的解是 a b y = ，并由此引入了减法与