上,|(x)≤M1其中M是与x有关的常数 H={(x8x∈[l 为[ab]的无限开覆盖由H中可选出有限个领域覆盖[ab然后易证∫的有界性 (2)证明一至连续性定理:应用连续性,V2)0,与 x∈4136.).x∈(x8,)/(x)-f(xk=取 H={U(x)∈ 为[a6]的无限覆盖然后利用有限覆盖定理证明一致连续性 问题3试总结致密性定理的应用 答经常在反证法中对选出的有界子列应用致密性定理 (1)证明有界性定理用反证法若f(x)在[ab]上无界则存在{}c使得 f(x)n 利用致密性定理在}中选出{n}使得m=5∈E]由连续性mf(xn)=f(5),与上面 不等式矛盾 (2)证明一致连续性定理用反证法若函数∫在[ab上不一致连续0)0,Vmn∈N,xn,x,尽 管一xK,但 (x)-f(x)≥60 然后由致密性定理在{n}}中分别选取于子列{x,n}它们收敛于同一实数于是与上面不等 式矛盾 问题4试总结确界定理的应用 答构造合适的点集E,使得E的确界即为需证命题中的数 (1)证明根的存在定理:∫(x)在[叵b上连续,f(a)0,f(b)0,若定义 E={f(x)x∈砂 2=nfE,则有f(5)=0 (2)证明有界性定理设 E={/0)在有界x∈(ab上, x f (x)   ,其中 x 是与 x 有关的常数, H = U(x; x ) xa,b 为 a,b 的无限开覆盖.由 H 中可选出有限个领域覆盖 a,b,然后易证 f 的有界性. (2) 证明一至连续性定理 : 应用连续性 ,  0 , 与 xa,b, 0, ( ; ), ( ) ( ) . ' '   x U X  f x − f x  x x 取         H = U x x  a b x ) , 2 ( ;  为 a,b 的无限覆盖,然后利用有限覆盖定理证明一致连续性. 问题 3 试总结致密性定理的应用. 答 经常在反证法中对选出的有界子列应用致密性定理. (1)证明有界性定理:用反证法,若 f (x) 在 a,b 上无界,则存在 x  a,b, n  使得 f (xn )n, 利用致密性定理在 xn  中选出   nk x ,使得 a b k x n , lim → =   ,由连续性 ( ) ( ) lim f x f  n nk → = ,与上面 不等式矛盾. (2)证明一致连续性定理:用反证法,若函数 f 在 a,b 上不一致连续, 0 0 ,n N+ , , , ' '' n n x x 尽 管 n x x n n ' '' 1 −  ,但 0 ' '' ( ) − ( )   n n f x f x . 然后由致密性定理在   ' n x ,  '' n x 中分别选取于子列   ' k n x ,  '' nk x ,它们收敛于同一实数,于是与上面不等 式矛盾. 问题 4 试总结确界定理的应用. 答 构造合适的点集 E,使得 E 的确界即为需证命题中的数. (1)证明根的存在定理: f (x) 在 a,b 上连续, f (a)0 , f (b)0 ,若定义 E = x f (x)0, xa,b  = inf E ,则有 f ( ) = 0 . (2)证明有界性定理:设 E = x f (t)在a, x上有界, x(a,b