收敛于1,而{(-1 也是各项互异的数列且收敛于-1,所以±1是S的聚点n≠土1,取 Eo=min(n-1 1n+l) 在U(mE0)中至多只有数集S中有限多个点于是n不是数集S的聚点这样±1是S的聚点 问题2设S是有界数集则spS(mnS是S的聚点例如S={1,n∈ N, L, sup S=1,但它不是 S的聚点 若a= Sup SE S,由数列极限理论存在严格递增数列{xn}<S,使如m=a依据聚点的等价定义 可知,supS为S的聚点 上述讨论对下确界也适用 §2闭区间上连续函数性质的证明 问题1试总结区间套定理的应用 答一般根据证明要求构造一个区间套,使得区间套的公共点为命题所需要的点 (1)证明柯西准则对于柯西列{an}构造区间套{an,B使得在每个[an,B]外只有数列{an}中 有限项区间套的公共占即为{n}的极限 (2)证明聚点定理设S为有界无限点集Sc[ab把区间一等分,其中必有一子区间包含数 集中无限多个点继续上述步骤可得区间套{ab其公共点占即为S的聚点 (3)证明有限覆盖定理:用反证法若闭区间不能用有限个区间覆盖氢这区间二等分,其中必有 子区间不能用有限个开区间覆盖由此可构造区间套,其公共点ξ属于某个开区间,从而导致区间套中 某区间可以用一个开区间覆盖的矛盾 (4)证明根的存在定理设f(a)(0,f(b)0.用二等分区间的方法构造区间套{an,B,使得 f(an)0,f(bn)0即f(x)在区间{an,bn]的两个端点上异号区间套的公共点5必满足f()=0 注上面(4)中的证明方法是计算方法中用二分法求函数议程f(x)=0的根的理论基础 问题2试总结有限覆盖定理的应用 答根据证明要求构造无限开覆盖,由有限覆盖定理选出有限开覆盖以达到需证的要求 (1)证明有界性定理:应用连续函数的局部有界性vx∈[ab]存在领域U(x。6,)使得在此领域收敛于 1,而       − + + + 2 1 2 1 2 1 ( 1) k k 也是各项互异的数列且收敛于−1,所以  1 是 S 的聚点.  1,取 min  1, 1, 2 1  0 =  −  + 在 ( ; ) 0 U   中至多只有数集 S 中有限多个点,于是  不是数集 S 的聚点.这样  1 是 S 的聚点. 问题 2 设 S 是有界数集,则 sup S(inf) S 是 S 的聚点.例如 , ,sup 1, 1 =       = n N+ S n S 但它不是 S 的聚点. 若 a = sup S  S ,由数列极限理论,存在严格递增数列 xn S ,使 a n x n → = lim ;依据聚点的等价定义 可知,sup S 为 S 的聚点. 上述讨论对下确界也适用. §2 闭区间上连续函数性质的证明 问题 1 试总结区间套定理的应用. 答 一般根据证明要求构造一个区间套,使得区间套的公共点为命题所需要的点. (1)证明柯西准则:对于柯西列 an 构造区间套 an ,n  使得在每个   an n , 外只有数列 an 中 有限项,区间套的公共占  即为 an 的极限. (2)证明聚点定理:设 S 为有界无限点集, S  a,b,把区间 a,b 二等分,其中必有一子区间包含数 集中无限多个点,继续上述步骤,可得区间套 a,b,其公共点  即为 S 的聚点. (3)证明有限覆盖定理:用反证法.若闭区间不能用有限个区间覆盖,氢这区间二等分,其中必有一 子区间不能用有限个开区间覆盖,由此可构造区间套,其公共点  属于某个开区间,从而导致区间套中 某区间可以用一个开区间覆盖的矛盾. (4)证明根的存在定理:设 f (a)0, f (b)0, 用二等分区间的方法构造区间套 an ,n  ,使得 ( )0, ( )0, n bn f a f 即 f (x) 在区间   an bn , 的两个端点上异号,区间套的公共点  必满足 f ( ) = 0. 注 上面(4)中的证明方法是计算方法中用二分法求函数议程 f (x) = 0 的根的理论基础. 问题 2 试总结有限覆盖定理的应用. 答 根据证明要求构造无限开覆盖,由有限覆盖定理选出有限开覆盖以达到需证的要求. (1)证明有界性定理:应用连续函数的局部有界性, xa,b 存在领域 ( ; ) x U x  ,使得在此领域