在领域U-(x),在此领域内∫(x)只能为常数这与x。为I上仅有的极小值点相矛盾 于是x"∈(x1x0),从而成为∫的极大值点这与∫在I上不存在极大值点的假设又相矛盾这样 点x必为最小值点 同理可证点x为极大值点而无极小值点的情形 注I为开、闭区间或无穷区间,结论同样成立上述结论在最大(小)值问题中很有用处 §5函数的凸性与拐点 问题1若(x0,f(x0)是曲线y=f(x)的一个拐点,f(x0)可能不存在但是在拐点的定义中 在(x,f(x0)处有穿过曲线的切线这是否有矛盾? 答没有矛盾考察函数 它在x=0处不可导,x≠0时 f'(x)=_2- 当x(0时,∫'(x)0,曲线y=f(x)是凸的;当x)0时,f(x)(0,曲线是凹的;且过原点有穿过曲线的 垂直切线因而点(0,0)是曲线的拐点 问题2为会开区间I内的凸函数一定处处连续? 答由教材上册每152页例5可知若∫在I内任一点处存在左、右导数由此可行∫在I内每点 处都左、右连续,从而连续 第七章实数的完备性 §1关于实数集完备性的基本定理 问题1设S是数集,度给出“n不是S的聚点”的正面陈述? 答n不是数集S的聚点分3)0,在U(V∈0)中至多包含S中有限多个点 例如S=1(-D°+、1 试找出S的所有聚点事实上,因为{(-1)”+}是各项互异的数列且在领域 ( ) 0 U − x ,在此领域内 f (x) 只能为常数,这与 o x 为 I 上仅有的极小值点相矛盾. 于是 ( , ) 1 0 * x  x x ,从而成为 f 的极大值点,这与 f 在 I 上不存在极大值点的假设又相矛盾.这样 点 o x 必为最小值点. 同理可证点 o x 为极大值点而无极小值点的情形. 注 I 为开、闭区间或无穷区间,结论同样成立.上述结论在最大(小)值问题中很有用处. §5 函数的凸性与拐点 问题 1 若 ( , ( )) 0 0 x f x 是曲线 y = f (x) 的一个拐点, '( ) 0 f x 可能不存在,但是在拐点的定义中, 在 ( , ( )) 0 0 x f x 处有穿过曲线的切线,这是否有矛盾? 答 没有矛盾.考察函数 3 y = x , 它在 x = 0 处不可导, x  0 时 3 5 9 2 ''( ) − f x = − x . 当 x0 时, f ''(x)0,曲线 y = f (x) 是凸的;当 x0 时, f ''(x)0 ,曲线是凹的;且过原点有穿过曲线的 垂直切线,因而点(0,0)是曲线的拐点. 问题 2 为会开区间 I 内的凸函数一定处处连续? 答 由教材上册每 152 页例 5 可知:若 f 在 I 内任一点处存在左、右导数.由此可行 f 在 I 内每点 处都左、右连续,从而连续. 第七章 实数的完备性 §1 关于实数集完备性的基本定理 问题 1 设 S 是数集，度给出“η不是 S 的聚点”的正面陈述？ 答 η不是数集 S 的聚点 0 0     ,在 ( ; ) U  0 中至多包含 S 中有限多个点. 例如       = − + n n S 2 1 ( 1) ,试找出 S 的所有聚点.事实上,因为       − + n n 2 1 ( 1) 是各项互异的数列且