而拉格朗日型余项是用n+1阶导数形式给出的利用这类余项对用泰勒多项式逼近函数时产生的误 差可以给出定量的估计 从证明方法看,佩亚诺型余项是用洛必达法则证明的;而拉格朗日型余项是用柯西中值定理证明 的 从应用方面看,佩亚诺型余项在求极限时用和较多(见材料例4,本书后面范例1);而拉格朗日型 余项在近似计算估计误差时用得较多 后面范例2说明在适当加强的条件下,可由拉格朗日型余项推得佩亚诺型余项的结论 §4函数的极值与最大(小)值 题1若函数f(x)在点x。取极大值,是否可断定x。的充分小领域中函数在点x。的左侧上升; 右侧下降? 答否考察例子 2-x2(2+sin-),x≠0, 它有极大值f(0)=2.由于 -2x(2+sin-)+ f∫(x)= 当充分小且x≠0时,f(x)的符号决定于cos的符号而cos在x=0的充分小领域内无 限次改变正、负号因此f(x)不满足在零点左侧上升右侧下降的条件由此可见极值的第一充分条件 并非必要的条件 问题2设f(x)为区间I上的连续函数且在I上仅有唯一的极值点当∫(x)o为极大(小)值时, 为什么f(x)0必为∫的最大(小)值? 答用反证法来说明设f(x)为区间I上的连续函数只有唯一极小值点x。,而无极大值点倘若 ∫(x)o不是∫的最小值,则必定彐∈1,使∫(x1)f(x),不妨设x1(x 因为f(x)是[x,x0]上的连续函数利用连续函数的最大、最小值定理存在x’∈[x1,x]为∫在 x,xl]上的最大值点现证x1(x'(x0,这是因为 (i)f(x1)f(x0),故x≠x1; (i)若x’=x0,由于x又是∫在1上的极小值点而点x又是f在[x1,x0]上的最大值点因此存而拉格朗日型余项是用 n +1 阶导数形式给出的,利用这类余项对用泰勒多项式逼近函数时产生的误 差可以给出定量的估计. 从证明方法看,佩亚诺型余项是用洛必达法则证明的;而拉格朗日型余项是用柯西中值定理证明 的. 从应用方面看,佩亚诺型余项在求极限时用和较多（见材料例 4,本书后面范例 1）;而拉格朗日型 余项在近似计算估计误差时用得较多. 后面范例 2 说明在适当加强的条件下,可由拉格朗日型余项推得佩亚诺型余项的结论. §4 函数的极值与最大（小）值 问题 1 若函数 f (x) 在点 o x 取极大值,是否可断定 o x 的充分小领域中,函数在点 o x 的左侧上升; 右侧下降? 答 否 考察例子    = − +  = ), 0, 1 2 (2 sin 2, 0 2 ( ) x x x x f x 它有极大值 f (0) = 2. 由于    = − + +  = , 0, 1 ) cos 1 2 (2 sin 0, 0 ' ( ) x x x x x f x 当 x 充分小且 x  0 时, f '(x) 的符号决定于 x 1 cos 的符号,而 x 1 cos 在 x0 = 0 的充分小领域内,无 限次改变正、负号,因此 f (x) 不满足在零点左侧上升,右侧下降的条件.由此可见,极值的第一充分条件 并非必要的条件. 问题 2 设 f (x) 为区间 I 上的连续函数,且在 I 上仅有唯一的极值点.当 0 f (x) 为极大（小）值时, 为什么 0 f (x) 必为 f 的最大（小）值? 答 用反证法来说明.设 f (x) 为区间 I 上的连续函数,只有唯一极小值点 o x ,而无极大值点.倘若 0 f (x) 不是 f 的最小值,则必定 I x  1 ,使 ( ) ( ) 1 0 f x  f x ,不妨设 1 0 x x . 因为 f (x) 是   1 0 x , x 上的连续函数,利用连续函数的最大、最小值定理,存在   1 0 * x  x , x 为 f 在   1 0 x , x 上的最大值点.现证 0 * 1 x x x ,这是因为 （ⅰ） ( ) ( ) 1 0 f x  f x ,故 1 * x  x ; (ⅱ)若 0 * x = x ,由于 o x 又是 f 在 I 上的极小值点,而点 o x 又是 f 在   1 0 x , x 上的最大值点,因此存