f(x)=f(x)-f(a) f(b)-f(a) 由罗尔中值定理推导柯西中值定理是应用了辅助函数 F(x)=f(x)-f(a)- ∫(b)-f(a) g(b-8((g(x)-g(a) 反之,在柯西中值定理设g(x)=x,就得到拉格朗日中值定理;进一步更设f(a)=f(b),又 得到罗尔中值定理,所以,若能首先证明柯西中值定理,则另外两个中值定理都是它的特殊情形 (3)从应用方面看 (i)罗尔中值定理除了在推导另外两个中值定理时所起的关键作用外,在利用方程f(x)=0 的根的情况讨论方程f(x)=0的根的分布情况也有重要作用,典型的应用见教材51习题11、12和 本书1的范例8。 (i)拉格朗日中值定理在利用导函数的性质讨论函数的单调性方面具有特殊的作用。函数的 单调性是函数在区间上的整体性质,中值定理中的f(2)只是f(x)在某点的局部性质,但因中值 点ξ的不明确性,故只能假设在整个区间(a,b)内f(x)≥0,并用以推得f(x)在a,b]上的递 增性质。这里存在着整体→局部→整体的辯证关系,也就是应用拉格朗日中值定理的实质所在。 (i)柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,后者是利用导数讨论函数f的增量与自变量 增量比的性质,而前者是利用导数的比来讨论两个函数f与g的增量比的性质。 柯西定理的典型应用是讨论一型不定式极限。在补充了f,g在点x0处的函数值 f(x0)=g(x0)=0之后,利用 f(x)f(x)-f(x0)f(5) (5介于xo与x之间) 8(x)g(x)-g(x0)g(5) 使函数值之比可以用导数之比来表示,而不定式极限的基本思想就是利用导数之比的极限来替 代函数值之比的极限,本节范例3、5就是这种类型的应用。 §3泰勒公式 问题试问泰勒公式的拉格朗日型余项和佩亚诺型余项具有什么不同的特点? 答从定理的条件看,泰勒公式的佩亚诺型余项成立的条件是f(x)在点x。存在直到n阶导数 而拉格朗日型余项成立则要求函数f(x)在点x的邻域内f"(x)连续,且存在n+1阶导函数 f(m(x);后者所需条件比前者强 从余项形式看,佩亚诺型余项o(x-x。)")是以高阶无穷小量的形式给出的是一种定性的描述;( ); ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a f x f x f a − − − = − − 由罗尔中值定理推导柯西中值定理是应用了辅助函数 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g x g a g b g a f b f a F x f x f a − − − = − − 反之，在柯西中值定理设 g(x) = x ，就得到拉格朗日中值定理；进一步更设 f (a) = f (b) ，又 得到罗尔中值定理，所以，若能首先证明柯西中值定理，则另外两个中值定理都是它的特殊情形。 （3）从应用方面看： （ⅰ）罗尔中值定理除了在推导另外两个中值定理时所起的关键作用外，在利用方程 f（x）=0 的根的情况讨论方程 f (x) = 0 的根的分布情况也有重要作用，典型的应用见教材 1 习题 11、12 和 本书 1 的范例 8。 （ⅱ）拉格朗日中值定理在利用导函数的性质讨论函数的单调性方面具有特殊的作用。函数的 单调性是函数在区间上的整体性质，中值定理中的 f ( ) 只是 f (x) 在某点  的局部性质，但因中值 点  的不明确性，故只能假设在整个区间（a，b）内 f (x)  0，并用以推得 f（x）在[a，b]上的递 增性质。这里存在着整体→局部→整体的辩证关系，也就是应用拉格朗日中值定理的实质所在。 （ⅲ）柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，后者是利用导数讨论函数 f 的增量与自变量 增量比的性质，而前者是利用导数的比来讨论两个函数 f 与 g 的增量比的性质。 柯西定理的 典型应 用是讨 论 0 0 型不定式极限 。在补充 了 f ，g 在点 x0 处的函 数值 f (x0 ) = g(x0 ) = 0 之后，利用 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0   g f g x g x f x f x g x f x   = − − = （  介于 x0 与 x 之间） 使函数值之比可以用导数之比来表示，而不定式极限的基本思想就是利用导数之比的极限来替 代函数值之比的极限，本节范例 3、5 就是这种类型的应用。 §3 泰勒公式 问题 试问泰勒公式的拉格朗日型余项和佩亚诺型余项具有什么不同的特点? 答 从定理的条件看,泰勒公式的佩亚诺型余项成立的条件是 f (x) 在点 o x 存在直到 n 阶导数; 而拉格朗日型余项成立则要求函数 f (x) 在点 o x 的邻域内 ( ) ( ) f x n 连续,且存在 n +1 阶导函数 ( ) ( 1) f x n+ ;后者所需条件比前者强. 从余项形式看,佩亚诺型余项 (( ) ) n o o x − x 是以高阶无穷小量的形式给出的,是一种定性的描述;