不存在的结论,例如,函数 f(x)= f(x)在u(0)中连续,且在t0(0)内可导 f(x)=-cos+2xsin -,x+0 x 显然f(x)不存在,但f(0)=0。此例说明:导数极限定理中xm(x)存在是充分条件, 但不是必要条件 §2柯西中值定值和不定式极限 问题1下面是由拉格朗日中值定理推导出柯西中值定理的一种“证法” 若函数f(x)与g(x)满足柯西中值定理的条件,则它们自然满足拉格朗日中值定理的条件, 于是存在5∈(a,b)使得 f()=f(b)-f(a)g(≈8(b)-g(a) b 因为g(5)≠0,g(b)-g(a)≠0所以把上面两式相除即得 f'()f(b)-f(a) g'(2)g(b)-g(a) 试问上述证明对不对?为什么? 答上面证法是错误的。这是因为拉格朗日中值定理中的值中值点5,对不同的函数f和g在 同一区间a,b上一般是不同的,其实,上述推导过程中应当是彐51,52∈(a,b),使得 r()=f(b)-/15)=8(b)-g(a) b 当51≠2时,就无法通过两式相除而得出柯西中值公式 问题2试问罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理之间有何联系?在应用时各有 什么特点? 答(1)罗辑推理关系:罗尔中值定理是借助费马定理经推导而得到的,在此基础上,又推得另 两个中植定理,即: 费马定理→罗尔中值定理→拉格朗日中值定理 →柯西中值定理 由此可见费马定理在微分学中的重要地位。 (2)由证明方法看:由罗尔中值定理推导拉格朗日中值定理是利用了辅助函数不存在的结论，例如，函数    = x x f x 1 sin 0 2 ( ) 0 0  = x x f（x）在 u（0）中连续，且在 0 u （0）内可导， , 0 1 2 sin 1 ( ) = −cos + x  x x x f x 显然 ( ) lim 0 f x x  → 不存在，但 f (0) = 0 。此例说明：导数极限定理中 ( ) lim 0 f x x x  → 存在是充分条件， 但不是必要条件。 §2 柯西中值定值和不定式极限 问题 1 下面是由拉格朗日中值定理推导出柯西中值定理的一种“证法”： 若函数 f（x）与 g（x）满足柯西中值定理的条件，则它们自然满足拉格朗日中值定理的条件， 于是存在  (a,b) 使得 b a g b g a g b a f b f a f − −  = − −  = ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )  因为 g( )  0, g(b) − g(a)  0 所以把上面两式相除即得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g b g a f b f a g f − − =     试问上述证明对不对？为什么？ 答 上面证法是错误的。这是因为拉格朗日中值定理中的值中值点  ，对不同的函数 f 和 g 在 同一区间[a，b]上一般是不同的，其实，上述推导过程中应当是 , ( , ) 1  2  a b ，使得 b a g b g a g b a f b f a f − −  = − −  = ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )  1  2 当 1   2 时，就无法通过两式相除而得出柯西中值公式。 问题 2 试问罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理之间有何联系？在应用时各有 什么特点？ 答（1）罗辑推理关系：罗尔中值定理是借助费马定理经推导而得到的，在此基础上，又推得另 两个中植定理，即： 费马定理 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理  柯西中值定理 由此可见费马定理在微分学中的重要地位。 （2）由证明方法看：由罗尔中值定理推导拉格朗日中值定理是利用了辅助函数