U(OUx)o(x))2+f(o(x))o"(x)ldx2 f(o(x)o'(x)dx)2+'(o(x)o"(x)dx f(u)du +f(udu 上述(44)、(45)两式中相差一项f(l)d2l,这项当u为自变量时为零,因此当u为自变量 或可微函数的因变量时,二阶微分形式并不相同,即不具有形式不变性。 第六章微分中值定理及其应用 §1拉格朗日中值定理和函数的单调性 问题1若f(x)在(a,b)内严格递增,在点a处右连续,为何由此能推得f(x)在(a,b)上 严格递增? 答只需证明vx)a,f(x)f(a)这时存在x,x2∈(a,b),满足a<x<x2<x,由f(x)在(a b)中的严格递增性有f(x1)<f(x)f(x),令x→>a',由f(x)在点a的右连续性, f(a)=1f(x)≤f(x2)≤f(x)于是f(a)<f(x) 注上述命题在证明严格不等式时很有用 问题2试问应用导数极限定理时,应当注意哪些问题? (1)在应用导数极限定理时,哪果只注意加f(x)存在的条件,而忽视了f(x)在u(x) 内连续的条件,则会导致错误的结论,例如 f(x) f(x)在(0)中可导,且f(x)=1,于是有mof(x)=1,若认为f(O)存在,且f(0)=1 这就导致错误结论,事实上,因为f(x)在点0处不连续,当然不可导 (2)下面是单侧导数极限定理,证明方法与导数极限定理相似。 单侧导数极限定理设函数f(x)在点x的右邻域u+(x)(左邻域u-(x))中连续,在 u+(x0)(u-(x0))内可导,且,f(x,f(x)存在,则 (i)∫+(x)f-(x)存在 (ⅱ)f"+(x)=:f"(xf-(x)=如:f(x) (3)若函数f(x)在(x)内连续,在n°(x0)内可导,f(x)不存在,一般不能得到f(x)2 2 =[ f ((x))((x)) + f ((x))(x)]dx 2 2 = f ((x))((x)dx) + f ((x))(x)dx f u du f u d u 2 2 = ( ) + ( ) 上述（4.4）、（4.5）两式中相差一项 f u d u 2 ( ) ，这项当 u 为自变量时为零，因此当 u 为自变量 或可微函数的因变量时，二阶微分形式并不相同，即不具有形式不变性。 第六章 微分中值定理及其应用 §1 拉格朗日中值定理和函数的单调性 问题 1 若 f（x）在（a，b）内严格递增，在点 a 处右连续，为何由此能推得 f（x）在（a，b）上 严格递增？ 答 只需证明 xa ， f (x) f (a) 这时存在 x1，x2∈（a，b）,满足 a＜x1＜x2＜x，由 f（x）在（a， b）中的严格递增性有 f（x1）＜f（x2）f（x），令 → + x1 a ，由 f（x）在点 a 的右连续性， ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 lim 0 f a f x f x f x = x→x   于是 f（a）＜f（x）。 注 上述命题在证明严格不等式时很有用 问题 2 试问应用导数极限定理时，应当注意哪些问题？ （1）在应用导数极限定理时，哪果只注意 ( ) lim 0 f x x x  → 存在的条件，而忽视了 f（x）在 u（x0） 内连续的条件，则会导致错误的结论，例如  , 0, 1, 0, ( )  = = x x x f x f (x) 在 (0) 0 u 中可导，且 f (x) =1 ，于是有 ( ) 1 lim x→0 f  x = ，若认为 f (0) 存在，且 f (0) = 1， 这就导致错误结论，事实上，因为 f（x）在点 0 处不连续，当然不可导。 （2）下面是单侧导数极限定理，证明方法与导数极限定理相似。 单侧导数极限定理 设函数 f（x）在点 0 x 的右邻域 u+（ 0 x ）（左邻域 u-（ 0 x ））中连续，在 u 0 +（ 0 x ）（u 0 -（ 0 x ））内可导，且 ( )( ( )) lim lim 0 f x f x x x x xo   → + → 存在，则 （i） ( )( ( )) 0 0 f + x f − x 存在 （ⅱ） ( ) ( )( ( ) ( )) lim 0 lim 0 0 0 f x f x f x f x x x x x  + =   − =  → + → − （3）若函数 f（x）在 ( ) 0 u x 内连续，在 ( ) 0 0 u x 内可导， ( ) lim 0 f x x x  → 不存在，一般不能得到 ( ) 0 f  x