问题2试总结函数的高阶导数的常用求法 答高阶导数在第六章函数的泰勒展开中将起重要作用,下面列举一些常用的计算方法 (1)利用基本高阶导数公式表(3.5) (2)应用莱布尼茨公式(36)(本节习题54) (3)应用数学归纳法求函数的n阶导数(本章节习题5(6)) (4)先简化分式,然后利用高阶层数公式(本节习题5(3),(5) (5)证明需求导数的函数满足一个微分方程,然后利用递推公式求高阶导数(本节习题9、10) (6)利用复数运算和欧接公式求函数的n阶导数(见范例7) §4微分 问题1记号d2u,dhn2,d(2)这三者有何区别? 答du表示函数u的二阶微分;d2u表示u的第一阶微分的平方,即dhn2;d(u2)的微分,这 者有本质的差别,不能混淆。 例如v(x)=x2时,d2u=2bx2;d2=x2d2;d(u2)=4x3h 问题2什么是“一阶微分形式的不变性?”为什么二阶微分形式不具有不变性? 答设y=f(u)是变量u的可微函数,即有 dy=f(u)du 若u又是x的可微函数u=p(x),于是da=q(x)dx复合函数y=(fo)(x)的微分为 dy=f((x))o(x)dx f(udu 可以把u看作自变量或看作一可微函数中(x)时,一阶微分形式都是d=f(u)d这称为 阶微分形式不变性,这种不变性是复合函数求导法则的另一种表现形式 但是二阶微分形式不具有不变性,原因在于若=(x)是可微函数,则d=(x)dx是x的函 数,若u为自变量时,y对u的二阶微分为 d-y=f (u)du (44) 又若u=q(x)为微函数,则y对x的二阶微分为 d-y=d(dy) d(f(o(x))o(x)dx) ('(o(x))o'(x)'dx问题 2 试总结函数的高阶导数的常用求法 答 高阶导数在第六章函数的泰勒展开中将起重要作用，下面列举一些常用的计算方法： （1）利用基本高阶导数公式表（3.5） （2）应用莱布尼茨公式（3.6）（本节习题 5.4） （3）应用数学归纳法求函数的 n 阶导数（本章节习题 5（6）） （4）先简化分式，然后利用高阶层数公式（本节习题 5（3），（5）） （5）证明需求导数的函数满足一个微分方程，然后利用递推公式求高阶导数（本节习题 9、10） （6）利用复数运算和欧接公式求函数的 n 阶导数（见范例 7） §4 微分 问题 1 记号 , , ( ) 2 2 2 d u du d u 这三者有何区别？ 答 d u 2 表示函数 u 的二阶微分； d u 2 表示 u 的第一阶微分的平方，即 2 du ； ( ) 2 d u 的微分，这三 者有本质的差别，不能混淆。 例如 2 u(x) = x 时， d u dx du x dx d u x dx 2 2 2 2 2 2 3 = 2 ; = ; ( ) = 4 问题 2 什么是“一阶微分形式的不变性？”为什么二阶微分形式不具有不变性？ 答 设 y=f（u）是变量 u 的可微函数，即有 dy= f (u)du 若 u 又是 x 的可微函数 u = (x), 于是 du =(x)dx 复合函数 y = ( f ) （x）的微分为 dy = f ((x))(x)dx = f (u)du 可以把 u 看作自变量或看作一可微函数ф（x）时，一阶微分形式都是 dy = f (u)du 这称为一 阶微分形式不变性，这种不变性是复合函数求导法则的另一种表现形式。 但是二阶微分形式不具有不变性，原因在于若 u = (x) 是可微函数，则 du =(x)dx 是 x 的函 数，若 u 为自变量时，y 对 u 的二阶微分为 2 2 d y f (u)du n = （4.4） 又若 u = (x) 为微函数，则 y 对 x 的二阶微分为 ( ) 2 d y = d dy = d( f ((x))(x)dx) 2 = ( f ((x))(x))dx