2.[5分将边长为a的正方形薄板铅直 地浸入水中,其上底边与水面平齐,求薄板 侧所受的水压力(设水的比重为y) 解取x为积分变量,x∈[0,a] 压力元素dP= yxadx P=orad ya.a =ra (5分) 2 2 五、[6分]设函数f(x)在[a,b]上连续且f(x)>0,试证:在(a,b)内存在唯一一点c,使 得直线x=c将曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积二等分 证令F()=J。(x)tx-J”f(xtx,t∈a,b (2分) F(a)=-J。f(x)dx<0,F(b)=。f(x)x>0 由零点定理,至少存在一点C∈(a1,b),使得F(c)=0 (4分) 又 F(t)=f(1)+f()>0, 表明F(t)单调递增,因此函数F(x)至多有一个零点 (5分) 综上所述,(a,b)内存在唯一一点c,使得F(c)=0,即 ∫。fxlx=」。f(x)t 也即直线x=c将曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积二等分 (6分) 高数(一)A卷答案第6页共6页高数（一） A 卷 答案 第 6 页 共 6 页 O a 水面 x 2. [5 分]将边长为 a 的正方形薄板铅直 地浸入水中, 其上底边与水面平齐, 求薄板 一侧所受的水压力(设水的比重为  ). 解 取 x 为积分变量, x[0, a], 压力元素 dP =  xadx, (2 分) P x adx a  =  0 . 2 1 2 1 2 3 =  a a =  a (5 分) 五、[6 分] 设函数 f (x) 在 [a, b] 上连续且 f (x) > 0, 试证: 在 (a, b) 内存在唯一一点 c, 使 得直线 x = c 将曲线 y = f (x) 与直线 x = a, x = b 以及 x 轴所围成的曲边梯形的面积二等分. 证 令 F(t) f (x)dx f (x)dx, t [a, b], b t t a =  −   (2 分) 则 ( ) = − ( )  0,  F a f x dx b a ( ) = ( )  0,  F b f x dx b a 由零点定理, 至少存在一点 c(a,b) , 使得 F(c) = 0; (4 分) 又 F(t) = f (t) + f (t)  0, 表明 F(t) 单调递增, 因此函数 F(x) 至多有一个零点. (5 分) 综上所述, (a, b) 内存在唯一一点 c, 使得 F(c) = 0, 即 f (x)dx f (x)dx, b c c a =  也即直线 x = c 将曲线 y = f (x)与直线 x = a, x = b 以及 x 轴所围成的曲边梯形的面积二等分. (6 分)