解答略。 、乘法公式 由条件概率的定义,得到P(AB=P(A)P(B)当P(A)>0时; P(ABP(BP(4B)当P(B>0时。 上述两式统称为乘法公式。 注:公式中必须要求PA)>0,P(B>0,否则两个条件概率无意义。 上式乘法公式可以推广到n个事件的情形: P(AA2…A)=P(A4)P(A2|A1)P(43|A42).P(An|A1A2…A-1), 其中P(A1A2An1)>0。 例3设袋中装有r只红球,t只白球。每次取一只观察其颜色并放回,再放入a只同色球,连 续取四次,试求第一次、第二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。 解以A表示事件“第i次取到红球”i=1234,则A3,A4分别表示第三次、第四次取到白球, 由乘法公式所求概率为 P(AA,)=P(AP(A,AP(A3,A2)P(A4 A, A, A3 r+a t+a r+t r+t+a r+t+a+a r+t+a+a+a 三、全概率公式和贝叶斯公式 复杂问题可以转化为一些简单问题,例如一批产品分别来自甲、乙、丙三个厂,要求它的次品 率,可以先求出甲、乙、丙三厂的次品率分别是多少,然后求这批产品的次品率。上述问题的直观 解释是:多“原因”都可能导致某一“结果”发生,求“结果”发生的概率(称此概率模型为“多 原因一结果”型);再如盒子中有黑白两类球,进行不放回摸球两次,求第二次摸到黑球的概率 可先求出第一次取到黑球时,第二次摸到黑球的概率以及第一次取到白球时,第二次摸到黑球的概 率,再求第二次摸到黑球的概率,此问题的直观解释是:试验分为两步:求第二步某个随机事件发 生的概率(称此概率模型为“两步型”)。 对于上述两类问题,从概率上表达它们发生可能性之间关系的一个公式就是全概率公式。 定义2设有样本空间9,A1,A2,…,An是样本空间Ω的n个事件,满足解答略。 二、乘法公式 由条件概率的定义，得到 P(AB)=P(A)P(B|A) 当 P(A)>0 时； P(AB)=P(B)P(A|B) 当 P(B)>0 时。 上述两式统称为乘法公式。 注：公式中必须要求 P(A)>0 ,P(B)>0，否则两个条件概率无意义。 上式乘法公式可以推广到 n 个事件的情形： ( ... ) ( ) ( | ) ( | )... ( | ... ) P A!A2 An = P A1 P A2 A1 P A3 A1A2 P An A1A2 An−1 ， 其中P(A!A2 ...An−1 )  0。 例 3 设袋中装有 r 只红球，t 只白球。每次取一只观察其颜色并放回，再放入 a 只同色球，连 续取四次，试求第一次、第二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。 解 以 Ai 表示事件“第 i 次取到红球” i = 1,2,3,4 ，则 3 4 A , A 分别表示第三次、第四次取到白球， 由乘法公式所求概率为： r t a a a t a r t a a t r t a r a r t r P A A A A P A P A A P A A A P A A A A + + + + + • + + + • + + + • + ( 1 2 3 4 ) = ( 1 ) ( 2 | 1 ) ( 3 | 1 2 ) ( 4 | 1 2 3 ) = 三、全概率公式和贝叶斯公式 复杂问题可以转化为一些简单问题，例如一批产品分别来自甲、乙、丙三个厂，要求它的次品 率，可以先求出甲、乙、丙三厂的次品率分别是多少，然后求这批产品的次品率。上述问题的直观 解释是：多“原因”都可能导致某一“结果”发生，求“结果”发生的概率（称此概率模型为“多 原因一结果”型）；再如盒子中有黑白两类球，进行不放回摸球两次，求第二次摸到黑球的概率， 可先求出第一次取到黑球时，第二次摸到黑球的概率以及第一次取到白球时，第二次摸到黑球的概 率，再求第二次摸到黑球的概率，此问题的直观解释是：试验分为两步：求第二步某个随机事件发 生的概率（称此概率模型为“两步型”）。 对于上述两类问题，从概率上表达它们发生可能性之间关系的一个公式就是全概率公式。 定义 2 设有样本空间Ω，A1，A2，…，An 是样本空间Ω的 n 个事件，满足