物理学报Acta Phys..Sin.Vol.60,No.4(2011)048401 模型，满足条件的相轨迹在稳态时正好周期性地穿 根据Floquet定理[2o]可知，如果系统雅可比矩 过软开关边界条件所确定的庞加莱截面.因此，为 阵的所有特征值入均位于单位圆内，即模均小于1， 了判断(8)式所确定的谐振工作点的自治振荡稳定 则对应谐振工作点的自治振荡是渐近稳定的，若有 性，我们可以以周期不动点x·为(12)式所示周期 一个特征值的模大于1，则对应谐振工作点的自治 迭代模型的初始状态，在干扰△x作用下，经历一个 振荡是不稳定的 周期后，观察此干扰的作用是被抑制还是放大，即 是否收敛于初始状态点.这可以通过分析(12)式的 4.多谐振点现象研究 雅可比矩阵特征值的分布情况来实现 定义系统雅可比(Jacobi)算子为 这里将对一个串联谐振型PT系统的多谐振点 D,+( 052 现象进行研究，利用前面的理论分析结果确定该系 13) 统的多个谐振点的工作频率，并分析各工作点的自 由软开关边界条件方程(10)和(11)式，根据隐函数 治振荡稳定性，分析结果通过仿真和实验结果进行 求导法则，可得 了验证， 兰() (14) 4.1.多谐振点现象 对图1所示的串联谐振型PT系统，假设其参 (15) ix, 数取值如表1所示。 (14),(15)式代入(13)式可得系统雅可比矩阵为 表1串联谐振型PT系统参数表 D.F= aFaF (aH aH 参数 取值 ox. a形 a ax. 原边谐振电感L,/μH 85.4 aF aH, aH dH, 原边谐振电容C/μF 0.47 ax, 副边谐振电感L./μH 85.5 副边谐振电容C,/μF 0.48 (16) 原边串联等效阻抗R,/Ω 0.12 式中各偏导项的计算可由(10)一(12)式导出 副边串联等效阻抗R./D 0.12 F=Φ(5+5)， 互感M/μH 25.4 o 负载R1/2 1.6 l=Y·(5), 根据(8)式所示谐振工作点判断条件，可以得 i 到系统在表1所示参数下，具有三个谐振工作点，如 =Y·(5+5), ax。 表2所示. 串联谐振型PT系统谐振工作点 aF 表2 店 =Φ(51+专2)(Axn+BE), 谐振工作点 周期值（μs) 颜率值(kHz) aH 谐振点1 34.07 29.35 aE L=Y·(Φ(5)Axn+D(5)BE), 谐振点2 39.73 25.17 谐振点3 44.95 22.25 aH2 a51 =Y·Φ(5：+52)(Axa+BE), 三个谐振工作点对应的逆变器输出电压及原 aF 边谐振电流波形如图2所示。 2 =Φ(51+52)Axn 这三个谐振点上，由(16)式可得系统雅可比矩 +Φ（专2）（Φ(5，）-2I)BE, 阵特征值如表3所示.由表3可以看出，工作点1和 :=Y.[重(5+5)Ax, 3的特征值均分布在单位圆内，为稳定工作点，而工 a52 作点2有一个特征值分布在单位圆外，为不稳定工 +Φ(52)（Φ(5，）-2I)BE]. 作点 048401-4物理学报摇 粤糟贼葬 孕澡赠泽援 杂蚤灶援 摇 灾燥造援 远园袁 晕燥援 源 渊圆园员员冤摇 园源愿源园员 园源愿源园员鄄源 模型袁满足条件的相轨迹在稳态时正好周期性地穿 过软开关边界条件所确定的庞加莱截面援 因此袁为 了判断渊愿冤式所确定的谐振工作点的自治振荡稳定 性袁我们可以以周期不动点 曾鄢 为渊员圆冤 式所示周期 迭代模型的初始状态袁在干扰 驻曾 作用下袁经历一个 周期后袁观察此干扰的作用是被抑制还是放大袁即 是否收敛于初始状态点援 这可以通过分析渊员圆冤式的 雅可比矩阵特征值的分布情况来实现援 定义系统雅可比渊 允葬糟燥遭蚤冤算子为 阅曾灶 云 越 鄣云 鄣曾灶 垣 鄣云 鄣孜员 窑 鄣孜员 鄣曾灶 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 垣 鄣云 鄣孜圆 窑 鄣孜圆 鄣曾灶 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟援 渊员猿冤 由软开关边界条件方程渊员园冤和渊员员冤式袁根据隐函数 求导法则袁可得 鄣孜员 鄣曾灶 越 原 鄣匀员 鄣孜员 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 原员 窑 鄣匀员 鄣曾灶 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟袁 渊员源冤 鄣孜圆 鄣曾灶 越 原 鄣匀圆 鄣孜圆 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 原员 窑 鄣匀圆 鄣曾灶 垣 鄣匀圆 鄣孜员 窑鄣孜员 鄣曾灶 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟援 渊员缘冤 渊员源冤 袁渊员缘冤式代入渊员猿冤式可得系统雅可比矩阵为 阅曾灶 云 越 鄣云 鄣曾灶 原 鄣云 鄣孜员 窑 鄣匀员 鄣孜员 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 原员 窑 鄣匀员 鄣曾灶 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 原 鄣云 鄣孜圆 窑 鄣匀圆 鄣孜圆 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 原员 窑 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ 鄣匀圆 鄣曾灶 原 鄣匀圆 鄣孜员 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 伊 鄣匀员 鄣孜员 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 原员 窑 鄣匀员 鄣曾灶 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ 袁 渊员远冤 式中各偏导项的计算可由渊员园冤要渊员圆冤式导出 鄣云 鄣曾灶 越 椎渊孜员 垣 孜圆 冤 袁 鄣匀员 鄣曾灶 越 再窑椎渊孜员 冤 袁 鄣匀圆 鄣曾灶 越 再窑椎渊孜员 垣 孜圆 冤 袁 鄣云 鄣孜员 越 椎渊孜员 垣 孜圆 冤 渊粤曾灶 垣 月耘凿糟冤 袁 鄣匀员 鄣孜员 越 再窑渊椎渊孜员 冤粤曾灶 垣 椎渊孜员 冤月耘凿糟冤 袁 鄣匀圆 鄣孜员 越 再窑椎渊孜员 垣 孜圆 冤 渊粤曾灶 垣 月耘凿糟冤 袁 鄣云 鄣孜圆 越 椎渊孜员 垣 孜圆 冤粤曾灶 垣 椎渊孜圆 冤 渊椎渊孜员 冤 原 圆陨冤月耘凿糟袁 鄣匀圆 鄣孜圆 越 再窑咱椎渊孜员 垣 孜圆 冤粤曾灶 垣 椎渊孜圆 冤 渊椎渊孜员 冤 原 圆陨冤月耘凿糟暂援 摇 摇 根据 云造燥择怎藻贼 定理咱圆园暂 可知袁如果系统雅可比矩 阵的所有特征值 姿 均位于单位圆内袁即模均小于 员袁 则对应谐振工作点的自治振荡是渐近稳定的袁若有 一个特征值的模大于 员袁则对应谐振工作点的自治 振荡是不稳定的援 源郾 多谐振点现象研究 这里将对一个串联谐振型 陨孕栽 系统的多谐振点 现象进行研究袁利用前面的理论分析结果确定该系 统的多个谐振点的工作频率袁并分析各工作点的自 治振荡稳定性袁分析结果通过仿真和实验结果进行 了验证援 源郾 员郾 多谐振点现象 对图 员 所示的串联谐振型 陨孕栽 系统袁假设其参 数取值如表 员 所示援 表 员摇 串联谐振型 陨孕栽 系统参数表 参数 取值 原边谐振电感 蕴责 辕 滋匀 愿缘郾 源 原边谐振电容 悦责 辕 滋云 园郾 源苑 副边谐振电感 蕴泽 辕 滋匀 愿缘郾 缘 副边谐振电容 悦泽 辕 滋云 园郾 源愿 原边串联等效阻抗 砸责 辕 赘 园郾 员圆 副边串联等效阻抗 砸泽 辕 赘 园郾 员圆 互感 酝辕 滋匀 圆缘郾 源 负载 砸蕴 辕 赘 员郾 远 根据渊愿冤式所示谐振工作点判断条件袁可以得 到系统在表 员 所示参数下袁具有三个谐振工作点袁如 表 圆 所示援 表 圆摇 串联谐振型 陨孕栽 系统谐振工作点 谐振工作点 周期值渊滋泽冤 频率值渊 噪匀扎冤 谐振点 员 猿源郾 园苑 圆怨郾 猿缘 谐振点 圆 猿怨郾 苑猿 圆缘郾 员苑 谐振点 猿 源源郾 怨缘 圆圆郾 圆缘 三个谐振工作点对应的逆变器输出电压及原 边谐振电流波形如图 圆 所示援 这三个谐振点上袁由渊员远冤式可得系统雅可比矩 阵特征值如表 猿 所示援 由表 猿 可以看出袁工作点 员 和 猿 的特征值均分布在单位圆内袁为稳定工作点袁而工 作点 圆 有一个特征值分布在单位圆外袁为不稳定工 作点援