证对于函数y dy 1 >0,函数y单调增加,所以 1+xdx(1+x) 1+|a+b1 1+a+b 1+a+b 1+a+[bl 1+|| 1+1bl 11.设a>lhn2-1为常数,证明当x>0时, 2ax+i<e 证令f(x)=e2-(x2-2ax+1),则 f'(x)=e 由于在(0,n2)上f"x)<0,f(x)在[,ln2严格单调减少;在(n2,+∞) 上∫"(x)>0,f(x)在[n2,+∞)严格单调增加。所以x=ln2为∫(x)在(0.,+∞) 上的最小值点。由于f(hn2)=2-2ln2+2a>0,所以f(x)>0,x>0。再 由f()=0,得到f(x)>0,Vx>0,证毕。 12.设k>0,试问当k为何值时,方程 arctan x-kx=0有正实根? 解令∫(x)= arctan x-kx,则 f(0)=0,f(+∞)=-∞,f(x)= 当k≥1时,f(x)<0(x≠0),所以f(x)严格单调减少,由f(0)=0可知方 程无正实根;当0<k<1时,f(0)>0,所以当x>0很小时f(x)>0,由 连续函数的零点存在定理,可知方程必有正实根。 13.对a作了n次测量后获得了n个近似值{a}1,现在要取使得 达到最小的ξ作为a的近似值,ξ应如何取? 解由证 对于函数 x x y + = 1 ， 2 1 0 (1 ) dy dx x = > + ，函数 y 单调增加, 所以 | | | | | 1 | | 1 1 1 1 | | 1 | | a b a b a b a b a b a b a b a b a b + + ≤ = + ≤ + + + + + + + + + + + | 。 11．设a > ln 2 −1为常数，证明当 x > 0时， x x − 2ax +1 < e 2 。 证 令 f x( ) = − ex (x 2 − 2ax +1)，则 '( ) 2 2 x f x e = − x + a， ''( ) 2 x f x = e − 。 由于在 上 ， 在[0 严格单调减少；在 上 ， 在[l 严格单调增加。所以 (0,ln 2) f x ''( ) < 0 f '(x) ,ln 2] (ln 2,+∞) f x ''( ) > 0 f '(x) n 2,+∞) x = ln 2为 在 上的最小值点。由于 f '(x) (0,+∞) f a '(ln 2) = 2 − + 2ln 2 2 > 0 ，所以 。再 由 ，得到 ，证毕。 f x'( ) > ∀ 0, x > 0 f (0) = 0 f x( ) > ∀ 0, x > 0 12．设k > 0，试问当k 为何值时，方程arctan x − kx = 0有正实根？ 解 令 f x( ) = arctan x − kx，则 2 1 (0) 0, ( ) , '( ) 1 f f f x k x = +∞ = −∞ = − + 。 当 时， ，所以 严格单调减少，由 可知方 程无正实根；当0 时， ，所以当 很小时 ，由 连续函数的零点存在定理，可知方程必有正实根。 k ≥1 f x'( ) < 0 (x ≠ 0) f x( ) f (0) = 0 1 k k=1 < k < f '(0) > 0 x > 0 f x( ) > 0 13．对a作了n次测量后获得了n个近似值{ } a n ，现在要取使得 s ak k n = − = ∑( ) ξ 2 1 达到最小的ξ作为a的近似值，ξ应如何取？ 解 由 150