很狭窄的一支：单变量线性常微分方程。要是还记得大一高数，一定还记得线形 常微的解，除了分离变量法什么的，如果自变量时间用t表示的话，最常用的求 解还是把xp(Ot)代入微分方程，然后解已经变成入的代数方程的特征方程，解出 来的解可以是实数，也可以是复数，是复数的话，就要用三角函数展开了（怎么 样，大一噩梦的感觉找回来一点没有？)。只要实根为负，那微分方程就是稳定 的，因为负的指数项最终向零收敛，复根到底多少就无所谓了，对稳定性没有影 响。但是，这么求解分析起来还是不容易，还是超不出“具体情况具体分析”，难 以得出一般的结论。 法国人以好色、好吃出名，但是他们食色性也之后，还不老实，其中一个 叫拉普拉斯的家伙，捣鼓出什么拉普拉斯变换，把常微分方程变成s的多项式。 然后那帮电工的家伙们，喜欢自虐，往s里塞jo,就是那个复频率，整出一个变 态的频率分析，用来分析系统的稳定性。不过说变态，也不完全公平，在没有计 算机的年代，各种图表是最有效的分析方法，还美其名曰“几何分析”。频率分析 也不例外。美国佬Evans搞出一个根轨迹(root locus),思路倒是满有意思的。 他用增益作自变量，将系统的根（不管实的虚的）在复平面上画出轨迹来，要是 轨迹在左半平面打转转，那就是实根为负，就是稳定的。再深究下去，系统响应 的临界频率之类也可以计算出来。最大的好处是，对于常见的系统，可以给出一 套作图规则来，熟练的大牛、小牛、公牛、母牛们，眼睛一瞄，随手就可以画出 根轨迹来，然后就可以告诉你，增益变化多多少，系统开始振荡，再增加多少， 系统会不稳定，云云。 根轨迹还是比较客气的，还有更变态的奈奎斯特、伯德和尼科尔斯法，想想 脑子都大。都是叫那帮电工分子害的。时至今日，计算机分析已经很普及了，但 是古典的图示分析还是有经久不衰的魅力，就是因为图示分析不光告诉你系统是 稳定还是不稳定，以及其他一些动态响应的参数，图示分析还可以定性地告诉你 增益变化甚至系统参数变化引起的闭环性能变化。咦，刚才还不是在说人家变态 吗？呃，变态也有变态的魅力不是？哈哈。 (七)一些“变态”的PID理论 以频率分析（也称频域分析）为特色的控制理论称为经典控制理论。经典控 制理论可以把系统的稳定性分析得天花乱坠，但有两个前提：一、要已知被控对很狭窄的一支：单变量线性常微分方程。要是还记得大一高数，一定还记得线形 常微的解，除了分离变量法什么的，如果自变量时间用 t 表示的话，最常用的求 解还是把 exp(λt)代入微分方程，然后解已经变成 λ 的代数方程的特征方程，解出 来的解可以是实数，也可以是复数，是复数的话，就要用三角函数展开了（怎么 样，大一噩梦的感觉找回来一点没有？）。只要实根为负，那微分方程就是稳定 的，因为负的指数项最终向零收敛，复根到底多少就无所谓了，对稳定性没有影 响。但是，这么求解分析起来还是不容易，还是超不出“具体情况具体分析”，难 以得出一般的结论。 法国人以好色、好吃出名，但是他们食色性也之后，还不老实，其中一个 叫拉普拉斯的家伙，捣鼓出什么拉普拉斯变换，把常微分方程变成 s 的多项式。 然后那帮电工的家伙们，喜欢自虐，往 s 里塞 jω，就是那个复频率，整出一个变 态的频率分析，用来分析系统的稳定性。不过说变态，也不完全公平，在没有计 算机的年代，各种图表是最有效的分析方法，还美其名曰“几何分析”。频率分析 也不例外。美国佬 Evans 搞出一个根轨迹（root locus），思路倒是满有意思的。 他用增益作自变量，将系统的根（不管实的虚的）在复平面上画出轨迹来，要是 轨迹在左半平面打转转，那就是实根为负，就是稳定的。再深究下去，系统响应 的临界频率之类也可以计算出来。最大的好处是，对于常见的系统，可以给出一 套作图规则来，熟练的大牛、小牛、公牛、母牛们，眼睛一瞄，随手就可以画出 根轨迹来，然后就可以告诉你，增益变化多多少，系统开始振荡，再增加多少， 系统会不稳定，云云。 根轨迹还是比较客气的，还有更变态的奈奎斯特、伯德和尼科尔斯法，想想 脑子都大。都是叫那帮电工分子害的。时至今日，计算机分析已经很普及了，但 是古典的图示分析还是有经久不衰的魅力，就是因为图示分析不光告诉你系统是 稳定还是不稳定，以及其他一些动态响应的参数，图示分析还可以定性地告诉你 增益变化甚至系统参数变化引起的闭环性能变化。咦，刚才还不是在说人家变态 吗？呃，变态也有变态的魅力不是？哈哈。 （七）一些“变态”的 PID 理论 以频率分析（也称频域分析）为特色的控制理论称为经典控制理论。经典控 制理论可以把系统的稳定性分析得天花乱坠，但有两个前提：一、要已知被控对