例9已知向量a=(1,k,1是矩阵 211 A=121 112 的逆矩阵A-的特征向量,试求常数k的值 解一设a是A-对应于特征值的特征向量,则由Aa=Aa可得a=a,即 211 由此可得方程组 A(3+k)=1 A(2+2k)=k 其解为 于是,当k=-2或1时,a是A的特征向量 解二设a是A-对应于特征值的特征向量,则由a=可得=a,即元 是A的特征值,a为A对应于λ的特征向量,于是 由此可得方程组 2+2k例 9 已知向量 T  = (1, k, 1) 是矩阵           = 1 1 2 1 2 1 2 1 1 A 的逆矩阵 −1 A 的特征向量, 试求常数 k 的值. 解一 设  是 −1 A 对应于特征值  的特征向量, 则由 = −  1 A  可得  = A, 即                     =           1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 k  k 由此可得方程组    + = + = k k k (2 2 ) (3 ) 1   其解为 , 1 4 1 1, 2; 1 = k1 = − 2 = k2 = . 于是, 当 k = −2 或 1 时,  是 −1 A 的特征向量. 解二 设  是 −1 A 对应于特征值  的特征向量, 则由 = −  1 A  可得 A =  1 , 即  1 是 A 的特征值,  为 A 对应于  1 的特征向量, 于是, A =  1  即           =                     1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 k k  由此可得方程组        + = + =   k k k 2 2 1 3