e博-e+e-所+e潮m-e,0≤乃≤乃，】 五.证明题（每题6分，共18分） (1-eI-e师) 片>片20 (6分) 19.设5为连续型随机变量，对任意的常数4，E(5-4)'<0(心0)，证明有 0 其他 P05-HBe)s El-u 四.应用题(12分) 17.设某地区成年居民中肥胖者占10%，不胖不瘦者占82%，瘦者占8%，又知肥胖者患 高血压的概率为20%，不胖不瘦者要高血压的概率为10%，瘦者要高血压的概率为5%， 玉P05-p=R4h≤54h (4分) 试求：(1)该地区居民要高血压病的概率： (2)若知某人患高血压，则他厕于肥群者的概率有多大？(6分) 解：A,位=1,2,3)分别表示居民为肥群者，不群不瘦者，瘦者.B:“居民要高血压病” 从而 P05-ube)sEl-u (2分) 则P八A)=01, P42)=0.82,P43)=0.08 20.设5}为相互独立的随机变量序列.且5。~U(0,b)(b0为常数).证明 PB14)=0.2PB|A)=0.LPB|A)=0.05, .=ax{5i,…,5}→b. 0 xs0 0 x≤0 由全概奉公式PB)=∑PA,)P(B1A)=0.I06 (4分) 证明：5~F(x)= x/bx∈(0，b),从而n~Fn(x)= (x/b)" xE(0,b)(3分) xzb xzb 由贝叶斯公式P氏A1B)=P4)PB14)=0.106_10 (2分) P(B) 3 ▣P四n.-bP6=1-Eb+e+F.6-8=(gr→0a→四 (3分). 18.在一家保险公司的老年人保险一年有10000个人参加保险，每人每年付40元保险费. 在一年内一个人死亡的概率为0.017，死亡时其家属可向保险公司领得2000元，试计算在 21.设5}为相互独立的随机变量序列，且服从相同的分布：E5,=0,D5,=σ2，又 这次保险中保险公司亏本的概率多大？(6分) 附：④(2.321)=0.986.④(1.321)=0.906. E5存在（问，2，，证明对任意的6>0，有mP阳之2-g2K=l. B+元 解：保险公司一年的保险总数40000元，设在一年内死亡人数为随机变量5，在这次保 证明：2的期望和方差为E52=σ2，D52=E54-o.而5：2(=1,2，-)仍相互 险中保险公司亏本时，当且仅当20005>400000，即5>200，(2分) 从而在这次保险中保险公司亏本的概率为 验立，B亡之的=a,D之-Dg,从面由契比晓夫不等式即亚得(6分： n P(5>200)=P( 5-170 30 )≈1-Φ(2.321)=0.014(4分) √170×0.983√170×0.983=           − −   − − + + −   − − − − − − − − − + 0 其他 (1 )(1 ) 0 1 , 0 , 2 1 2 1 ( ) 1 1 1 1 2 1 1 2 2 e e y y e e e e e y y y y y y y y y y y           (6 分) 四．应用题（12 分） 17．设某地区成年居民中肥胖者占 10%，不胖不瘦者占 82%，瘦者占 8%，又知肥胖者患 高血压的概率为 20%，不胖不瘦者患高血压的概率为 10%，瘦者患高血压的概率为 5%， 试求：（1）该地区居民患高血压病的概率； （2）若知某人患高血压，则他属于肥胖者的概率有多大？（6 分） 解： A (i =1,2,3) i 分别表示居民为肥胖者，不胖不瘦者，瘦者.B：“居民患高血压病” 则 ( ) 0.1, P A1 = ( ) 0.82, P A2 = ( ) 0.08, P A3 = ( | ) 0.2, P B A1 = ( | ) 0.1, P B A2 = ( | ) 0.05, P B A3 = 由全概率公式 ( ) ( ) ( | ) 0.106 3 1 =  = = i i P B P Ai P B A （4 分） 由贝叶斯公式 53 10 ( ) ( ) ( | ) 0.106 ( | ) 1 1 = = = P B P A P B A P A B i 。 （2 分） 18．在一家保险公司的老年人保险一年有 10 000 个人参加保险，每人每年付 40 元保险费。 在一年内一个人死亡的概率为 0.017，死亡时其家属可向保险公司领得 2000 元，试计算在 这次保险中保险公司亏本的概率多大？（6 分） 附:  （2.321）=0.986,  （1.321）=0.906. 解：保险公司一年的保险总数 400 000 元，设在一年内死亡人数为随机变量  ，在这次保 险中保险公司亏本时，当且仅当 2000  >400 000， 即  >200，(2 分) 从而在这次保险中保险公司亏本的概率为 P（  >200）= P（ 170 0.983 30 170 0.983 170     − ）  1－ (2.321) =0.014 （4 分） 五．证明题（每题 6 分, 共 18 分） 19．设  为连续型随机变量，对任意的常数  , −   r E( ) (r>0)，证明有 r r E P       | | (| | ) − −   。 证： P p x dx p x dx x r r x−   −  − −  =              | | | | ( ) | | (| | ) ( ) （4 分） 从而 r r E P       | | (| | ) − −   。 （2 分） 20．设  n  为相互独立的随机变量序列，且 ~ U(0,b)  n （b>0 为常数）。证明 b P  n = max{ 1 ,  , n } ⎯→ 。 证明：         = x b x b x b x F x n 1 / (0, ) 0 0  ~ ( ) ，从而         = x b x b x b x F x n n n 1 ( / ) (0, ) 0 0  ~ ( ) （3 分） lim {| | } 1 ( ) ( ) ( ) → 0,( → ) − −  = − + + − = → n b b P b F b F b n n n n n      （3 分）。 21．设  n  为相互独立的随机变量序列，且服从相同的分布： = 0, E i 2 D i =  ，又 4 E i 存在 ( i=1，2，…) ，证明对任意的   0, 有 | } 1 1 lim {| 2 1 2  −  = = →    n i i n n P 。 证明： 2  i 的期望和方差为 2 2 Ei = ， 2 4 4 Di = Ei − 。而 2  i ( i=1，2，…)仍相互 独立， ) , 1 ( 2 1 2  =  = n i i n E , 1 ) 1 ( 2 1 2 i n i i D n n D  =  = 从而由契比晓夫不等式即证得 （6 分）