高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 三、通量与散度 高斯公式的物理意义：将高斯公式 小g+器3h-Psa--oP+ReS 改写成 +器器ws 其中==osa+cosB+os%={cosa,cosB,cos是∑在点(xgz）处的单位法 向量 公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域2的流体的总质量，左端可解释为分布在Ω内 的源头在单位时间内所产生的流体的总质量.散度：设2的体积为，由高斯公式得 其左端表示2内源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值. 由积分中值定理得 令n耀时一点天海架器+器品s 上式左端称为v在点M的散度，记为div即 divv=OP00.OR Ox 0y Oz 其左端表示单位时间单位体积分内所产生的流体质量 般地，设某向量场由A(xy)=P(x5z）)+Qxyz)升R(x乃Z)k 给出，其中P,QR具有一阶连续偏导数，Σ是场内的一片有向曲面，n是Σ上点(xy2)处 的单位法向量，则 川AdS叫做向量场A通过曲面Σ向着指定侧的通量（或流量），而 P+巴+那叫做向量场A的散度，记作divA即divA=P+巴+迟 高斯公式另 形式Aw=到45，度Ah=到s, 其中Σ是闭区域2的边界曲面，而A=A=代osa+cosB4cosy 是向量A在曲面Σ的外侧法向量上的投影