高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 其中Σ是闭区域2的整个边界曲面， 为函数v(x上)沿Σ的外法线方向的方向导数， 符号△=0+0+0 六++，称为拉普拉斯算子.这个公式叫做格林第一公式 证：因为方向导数=0业cosa+心cosB+型 On ax dv cosy, 其中cosa、cosB、cosy是∑在点(x乃z)处的外法线向量的方向余弦.于是曲面积分 f5=到cosa+o+告eps -抓u尝coa+会cosB+u2cos75 利用高斯公式，即得 a-u0+号+是u2hd ax' =-JuAvdxdvd+- 小陪器+容是急h恤， 将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式， 二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 1.连通区域的类型设有空间区域G, ·若G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G为空间二维单连通域； ·若G内任一闭曲线总可以张一片全属于G的曲面， ·则称G为空间一维单连通域. 例如，球面所围区域，既是一维也是二维单连通区域； 环面所围区域，是二维但不是一维单连通区域： 立方体中挖去一个小球所成的区域是一维但不是二维单连通区域· 2.闭曲面积分为零的充要条件 定理2.设P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在空间二维单连通域G内具有连续一阶偏导 数，∑为G内任一闭曲面，则 fpdydz+Qdzdx+Rdxdy-0 的充要条件是： aP++a迟=0，(x,y,z)eG Ox dy 0z 3