高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 类地有∬保=PxXt,了 紧-0xh 把以上三式两端分别相加，即得高斯公式 例1利用高斯公式计算曲面积分 fcr-ydk+0-2xddt,其中工为柱面+al 及平面2=0,2=3所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧. 解这里P(r-)x=0,xy y -0,迟=0、 由高斯公式，有 (x-y)dxdy+(y-z)dyd -2)ddvdsin 0-2)pdpdai -f"dofdp f(psin0-2)d=- 例2计算曲面积分川(x2 cosa+-y2cosB+z2cosy)dS,其中Σ为锥面+=z介于平 面=0及=h(h>0)之间的部分的下侧，cosa、cosR、cosy是∑上点(x,5z)处的法向量 的方向余弦 解设Σ：为2=h(+y≤h)的上侧，则Σ与公1一起构成一个闭曲面，记它们围成的空间闭 区域为2，由高斯公式得 rosa+yosB+os5 =2Ⅱep+y+t=2ept 2<2 x2+v2≤h2 x2+v2≤h 提示： ∬dpr+k=0. 而 小6水x2cosa+y2cosf+cosyds=j∬z2as=小hdd=, x2+y2sh2 因此 (coscoc 例3设函数u(x,乃2)和v(x,y)在闭区域2上具有一阶及二阶连续偏导数，证明 aw-架s-哈器+器器+爱2