张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 015年4月3日 1知识要素 11对称化算子与反称化算子 定义1.1(置换算子).设有置换σ∈P,置换算子l。定义为 I:(皿")3φ→Iφ∈(Rm) 此处,(重)(u1,…,tr)会更(u(1,…,t(r)∈R 性质11(置换算子的线性性).对重,业∈(Rm)和Va,B∈R,有 I(a更+)=al重+BI 证明根据置换算子的定义,以及张量的线性性,有 I(a更+B重)( ,ur)=(a更+)( =a更(u(1),…,n(1)+v(u(1),…,(r) =al更(u1,…,)+Bly(1 =(al+BI业)(u1 根据置换算子的定义,任意张量经过置换算子作用之后可以表示为 (I重)(u1,…,ur)=更(ur(1),…,(r) (u(1),g1)m…(u(r),91n)m更(g2,…,g") (v1,9a-1(4)m…(tr ga-1(1)⑧…⑧9-1(x1)( ), 即有 l中= go-l(ir 又可得 =φ 91…⑧g张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 3 日 1 知识要素 1.1 对称化算子与反称化算子 定义 1.1 (置换算子). 设有置换 σ ∈ Pr, 置换算子 Iσ 定义为 Iσ : T r (R m) ∋ Φ 7→ IσΦ ∈ T r (R m). 此处, (IσΦ)(u1, · · · ,ur) , Φ(uσ(1), · · · ,uσ(r) ) ∈ R. 性质 1.1 (置换算子的线性性). 对 ∀ Φ, Ψ ∈ T r (R m) 和 ∀ α, β ∈ R, 有 Iσ(αΦ + βΨ) = αIσΦ + βIσΨ. 证明 根据置换算子的定义, 以及张量的线性性, 有 Iσ(αΦ + βΨ)(u1, · · · ,ur) = (αΦ + βΨ)(uσ(1), · · · ,uσ(r) ) = αΦ(uσ(1), · · · ,uσ(r) ) + βΨ(uσ(1), · · · ,uσ(r) ) = αIσΦ(u1, · · · ,ur) + βIσΨ(u1, · · · ,ur) = (αIσΦ + βIσΨ)(u1, · · · ,ur). 根据置换算子的定义, 任意张量经过置换算子作用之后可以表示为 (IσΦ)(u1, · · · ,ur) = Φ(uσ(1), · · · ,uσ(r) ) = (uσ(1), gi1 )Rm · · ·(uσ(r) , gir )RmΦ(g i1 , · · · , g ir ) = Φ i1···ir (u1, gσ−1(i1) )Rm · · ·(ur, gσ−1(ir) )Rm = Φ i1···ir gσ−1(i1) ⊗ · · · ⊗ gσ−1(ir) (u1, · · · ,ur), 即有 IσΦ = Φ i1···ir gσ−1(i1) ⊗ · · · ⊗ gσ−1(ir) . 又可得 IσΦ = Φ σ(i1)···σ(ir) gi1 ⊗ · · · ⊗ gir . 1