张量代数一反称化算子及反对称张量谢锡麟 定义1.2(对称张量与反对称张量).如果张量φ∈丌(Rm)满足Lφ=更,Vσ∈P或者 φ()o()=φt,则张量更称为对称张量,记作更∈Sym或者中∈∥r(Rm).如果张量 更∈(Rm)对a∈P满足L更=sm更或者(a)()=sno,则张量更称为反 对称张量,记作更∈Skw或者更∈A(Rm) 定义1.3(对称化算子和反称化算子),.对称化算子和反称化算子分别定义为 ():(R口四会∑l∈Sym ():9()→如1∑s∈(" 对于对称化算子,设Vr∈P,则有 I9=-l l rog p= 9=9 因此更是对称张量. 对于反称化算子,设Vr∈P,则有 1)=∑1o I更=8gnrm更 a∈Pr 因此凶更是反对称张量. 性质12(反称化算子基本性质).反称化算子具有如下基本性质 1.线性性:对V更,亚∈(Rm)和va,B∈R,有 a+B)=a重+B重; ,更一般地,有k=a,k∈N 3.对vφ∈丌(Rm),业∈(Rm),有 (⑧业)=m(更业=8业=(重⑧业 证明可按置换算子的基本性质,证明反称化算子的基本性质 1.根据置换算子的线性性,这是显然的 2.设更∈少(Rm),则有 2更=m(a/垂)= nolad ∑ sgnBIB ∑ ∑=以4 由此,即有a/2=a.再根据数学归纳法,易于证明ak=张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 定义 1.2 (对称张量与反对称张量). 如果张量 Φ ∈ T r (R m) 满足 IσΦ = Φ , ∀ σ ∈ Pr 或者 Φ σ(i1)···σ(ir) = Φ i1···ir , 则张量 Φ 称为对称张量, 记作 Φ ∈ Sym 或者 Φ ∈ S r (R m). 如果张量 Φ ∈ T r (R m) 对 ∀ σ ∈ Pr 满足 IσΦ = sgn σΦ 或者 Φ σ(i1)···σ(ir) = sgn σΦi1···ir , 则张量 Φ 称为反 对称张量, 记作 Φ ∈ Skw 或者 Φ ∈ Λ r (R m). 定义 1.3 (对称化算子和反称化算子). 对称化算子 S 和反称化算子 A 分别定义为 S (Φ) : T r (R n ) ∋ Φ 7→ S Φ , 1 r! ∑ σ∈Pr IσΦ ∈ Sym; A (Φ) : T r (R n ) ∋ Φ 7→ A Φ , 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σIσΦ ∈ Λ r (R n ). 对于对称化算子, 设 ∀ τ ∈ Pr, 则有 IτS Φ = 1 r! Iτ (∑ σ∈Pr IσΦ ) = 1 r! ∑ σ∈Pr Iτ◦σΦ = 1 r! ∑ γ∈Pr IγΦ = S Φ. 因此 S Φ 是对称张量. 对于反称化算子, 设 ∀ τ ∈ Pr, 则有 IτA Φ = 1 r! Iτ (∑ σ∈Pr sgn σIσΦ ) = 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σIτ◦σΦ = 1 r! sgn τ ∑ γ∈Pr IγΦ = sgn τA Φ. 因此 A Φ 是反对称张量. 性质 1.2 (反称化算子基本性质). 反称化算子具有如下基本性质: 1. 线性性: 对 ∀ Φ, Ψ ∈ T r (R m) 和 ∀ α, β ∈ R, 有 A (αΦ + βΨ) = αA Φ + βA Ψ; 2. A 2 = A , 更一般地, 有 A k = A , k ∈ N; 3. 对 ∀ Φ ∈ T r (R m), Ψ ∈ T s (R m), 有 A (Φ ⊗ Ψ) = A (A Φ ⊗ Ψ) = A (Φ ⊗ A Ψ) = A (A Φ ⊗ A Ψ). 证明 可按置换算子的基本性质, 证明反称化算子的基本性质. 1. 根据置换算子的线性性, 这是显然的. 2. 设 Φ ∈ T r (R m), 则有 A 2Φ = A (A Φ) = A ( 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σIσΦ ) = 1 r! ∑ β∈Pr sgn βIβ ( 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σIσΦ ) = 1 r! ∑ β∈Pr ( 1 r! ∑ σ∈Pr sgn (β ◦ σ)Iβ◦σΦ ) = 1 r! ∑ β∈Pr A Φ = A Φ. 由此, 即有 A 2 = A . 再根据数学归纳法, 易于证明 A k = A . 2