张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟 3.证明a(⑧业)=(重⑧重).由 a(重y)= gnaI更⑧业 ∑n0(更8) 此处1更⑧=φ)mpn-g18…8918918…⑧91,作置换o∈P的延拓 a∈P+1,如下所示: ∈Pr,a= ∈Pr+s, o(i1) o(i1) a(ir)j1 因此有I更⑧业=b{更⑧业).所以,有 (8业)=以∑0m( (r+s)! sgnBIBF ∑ sonia(更8业) B ∑s(。0)l(④重) (⑧业) 用类似的方法可以证明a(φ⑧业)={重⑧业 按以上结论,可得 (中⑧业)=m(/更⑧业)=m(s更⑧业) 1.2反对称张量的外积运算 定义1.4(外积运算).反对称张量的外积运算定义如下 ∧:P(m)×A(Rm)3便,}→更∧业∈AP+(Rmn) 其中 更∧业p+q)! p! g! anglo(⑧ p! g! 性质1.3(外积运算基本性质).外积运算具有如下基本性质 线性性:对V更,业∈AP(Rm),日∈A(Rm)和va,B∈R,有 a+)∧日=更∧白+ 2.对重∈P(Rm),业∈A9(Rm),O∈A(Rm),有 A日=A四A日)=如十十(日)∈P+(Rm) 由此,上述两种表达都统一记作更∧亚∧日;张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 3. 证明 A (Φ ⊗ Ψ) = A (A Φ ⊗ Ψ). 由 A (A Φ ⊗ Ψ) = A [( 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σIσΦ ) ⊗ Ψ ] = A [ 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σ (IσΦ ⊗ Ψ) ] . 此处 IσΦ ⊗ Ψ = Φ σ(i1)···σ(ir)Ψ j1···js gi1 ⊗ · · · ⊗ gir ⊗ gj1 ⊗ · · · ⊗ gjs , 作置换 σ ∈ Pr 的延拓 σˆ ∈ Pr+1, 如下所示: σ = ( i1 · · · ir σ(i1) · · · σ(ir) ) ∈ Pr, σˆ = ( i1 · · · ir j1 · · · js σ(i1) · · · σ(ir) j1 · · · js ) ∈ Pr+s, 因此有 IσΦ ⊗ Ψ = Iσˆ(Φ ⊗ Ψ). 所以, 有 A (A Φ ⊗ Ψ) = A [ 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σIσˆ(Φ ⊗ Ψ) ] = 1 (r + s)! ∑ βˆ∈Pr+s sgn βIˆ βˆ [ 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σIσˆ(Φ ⊗ Ψ) ] = 1 r! ∑ σ∈Pr   1 (r + s)! ∑ βˆ∈Pr+s sgn (βˆ ◦ σˆ)I βˆ◦σˆ (Φ ⊗ Ψ)   = 1 r! ∑ σ∈Pr A (Φ ⊗ Ψ) = A (Φ ⊗ Ψ). 用类似的方法可以证明 A (Φ ⊗ Ψ) = A (Φ ⊗ A Ψ). 按以上结论, 可得 A (Φ ⊗ Ψ) = A (A Φ ⊗ Ψ) = A (A Φ ⊗ A Ψ). 1.2 反对称张量的外积运算 定义 1.4 (外积运算). 反对称张量的外积运算定义如下: ∧ : Λ p (R m) × Λ q (R m) ∋ {Φ, Ψ} 7→ Φ ∧ Ψ ∈ Λ p+q (R m), 其中 Φ ∧ Ψ , (p + q)! p! q! A (Φ ⊗ Ψ) = 1 p! q! ∑ σ∈Pp+q sgn σIσ(Φ ⊗ Ψ). 性质 1.3 (外积运算基本性质). 外积运算具有如下基本性质: 1. 线性性: 对 ∀ Φ, Ψ ∈ Λ p (R m), Θ ∈ Λ q (R m) 和 ∀ α, β ∈ R, 有 (αΦ + βΨ) ∧ Θ = αΦ ∧ Θ + βΨ ∧ Θ; 2. 对 ∀ Φ ∈ Λ p (R m), Ψ ∈ Λ q (R m), Θ ∈ Λ r (R m), 有 (Φ ∧ Ψ) ∧ Θ = Φ ∧ (Ψ ∧ Θ) = (p + q + r)! p!q!r! A (Φ ⊗ Ψ ⊗ Θ) ∈ Λ p+q+r (R m), 由此, 上述两种表达都统一记作 Φ ∧ Ψ ∧ Θ; 3