张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟 3.对更∈A(Rm),重∈A9(Rm),则有 y=(-1) 证明可基于反称化算子的基本性质,证明外积运算的基本性质 1.根据反称化算子的线性性,这是显然的 2.根据反称化算子的性质(3),有 更∧业)A日 sy(业)∧ (P+q)!(p+q y(+!(更8y)6 p! qlr 同理可得 ∧(业∧白) +r20(908e p! q!r! 因此有 ∧业)A日=更∧业∧) (p+q+m)d(④8y8日) pl q 3.根据外积运算的定义,有 (P+0)/( p! q! p! q! ∑sLn匝更ψ) ∑ sgn al(yg18…891,89n18…⑧g pl q! pl q! ∑sgnoφlh18…89n89n8…89n) P 引入置换 1 ∈P Jg 此置换将哑标i,…,与哑标j,…,j整体换位(此处假设了q<p,另一种情况的构 造方法完全类似),则有 更∧ goT 1or(918…③gn③9 ⑧g) pl q! sgno'1py 1"yala 89+-1() plg! gnr 89n③91②…9) d∈Pp+q Ty∧更 o∈Pp+q张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 3. 对 ∀ Φ ∈ Λ p (R m), Ψ ∈ Λ q (R m), 则有 Φ ∧ Ψ = (−1)pqΨ ∧ Φ. 证明 可基于反称化算子的基本性质, 证明外积运算的基本性质. 1. 根据反称化算子的线性性, 这是显然的. 2. 根据反称化算子的性质 (3), 有 (Φ ∧ Ψ) ∧ Θ = (p + q)! p!q! A (Φ ⊗ Ψ) ∧ Θ = (p + q)! p!q! (p + q + r)! (p + q)!r! A [A (Φ ⊗ Ψ) ⊗ Θ] = (p + q + r)! p!q!r! A (Φ ⊗ Ψ ⊗ Θ). 同理可得 Φ ∧ (Ψ ∧ Θ) = (p + q + r)! p!q!r! A (Φ ⊗ Ψ ⊗ Θ). 因此有 (Φ ∧ Ψ) ∧ Θ = Φ ∧ (Ψ ∧ Θ) = (p + q + r)! p!q!r! A (Φ ⊗ Ψ ⊗ Θ). 3. 根据外积运算的定义, 有 Φ ∧ Ψ = (p + q)! p!q! A (Φ ⊗ Ψ) = 1 p!q! ∑ σ∈Pp+q sgn σIσ(Φ ⊗ Ψ) = 1 p!q! ∑ σ∈Pp+q sgn σIσ(Φ i1···ip Ψ j1···jq gi1 ⊗ · · · ⊗ gip ⊗ gj1 ⊗ · · · ⊗ gjq ) = 1 p!q! ∑ σ∈Pp+q sgn σΦi1···ip Ψ j1···jq Iσ(gi1 ⊗ · · · ⊗ gip ⊗ gj1 ⊗ · · · ⊗ gjq ). 引入置换 τ −1 = ( i1 · · · iq iq+1 · · · ip j1 · · · jq j1 · · · jq i1 · · · ip−q ip−q+1 · · · ip ) ∈ Pp+q, 此置换将哑标 i1, · · · , ip 与哑标 j1, · · · , jq 整体换位 (此处假设了 q < p, 另一种情况的构 造方法完全类似). 则有 Φ ∧ Ψ = 1 p!q! ∑ σ∈Pp+q sgn (σ ◦ τ )Φ i1···ip Ψ j1···jq Iσ◦τ (gi1 ⊗ · · · ⊗ gip ⊗ gj1 ⊗ · · · ⊗ gjq ) = 1 p!q! sgn τ ∑ σ∈Pp+q sgn σΦi1···ip Ψ j1···jq Iσ(gτ−1(i1) ⊗ · · · ⊗ gτ−1(ip) ⊗ gτ−1(j1) ⊗ · · · ⊗ gτ−1(jq) ) = 1 p!q! sgn τ ∑ σ∈Pp+q sgn σΦi1···ip Ψ j1···jq Iσ(gj1 ⊗ · · · ⊗ gjq ⊗ gi1 ⊗ · · · ⊗ gip ) = sgn τ 1 p!q! ∑ σ∈Pp+q sgn σIσ(Ψ ⊗ Φ) = sgn τΨ ∧ Φ. 4