张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟 以下考虑sgnτ,依次将i,…,i移动到j,…,j之前,总共需要γ次操作,因此 综上,有 更∧业=(-1)P∧ 13反对称张量的表示 反对称张量也常称为外形式,r阶反对称张量则称为τ-形式.显然R上全体r形式组成的 空间是r阶张量空间(Rm)的一个子空间,称为Rm上的r-形式空间,记作A(Rm) 定义1.5(简单r-形式).设u1,…,ur∈Rm,则a1A…Aar∈Ar(Rm)称为简单r-形式 根据外积运算的基本性质(1),有 au18…⑧ur)=r!af(u1⑧…⑧ur)∈A(Rm) 即简单r-形式是r阶反对称张量 定理1.4.设u1,……,u∈Rm,U1,…,r∈Rm,则有 (u1, u1)Rm u1A…∧ar(U1, (ur,℃1)Rm 证明根据外积的定义可有 u1∧…∧ur(U1, r)=r!(1②…⑧ur)( sunol 8ur)(v1,……,Ur) ∈Pr sgna(u18…8ur)(v(),…,vn()(置换算子的定义) ∑gn(u1,n()lxm…(u-,n()m(简单张量的定义) (u1,v1)R (行列式的定义 (ur,1) (ur,℃)R 推论1.41.对Va∈P,有 In(gn∧…^g1)=g(x)A…∧gn(a)=gn-1(1)A…∧ = shogi1∧…∧9;1张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 以下考虑 sgn τ , 依次将 i1, · · · , ip 移动到 j1, · · · , jq 之前, 总共需要 pq 次操作, 因此 sgn τ = (−1)pq . 综上, 有 Φ ∧ Ψ = (−1)pqΨ ∧ Φ. 1.3 反对称张量的表示 反对称张量也常称为外形式, r 阶反对称张量则称为 r-形式. 显然 R m 上全体 r-形式组成的 空间是 r 阶张量空间 T r (R m) 的一个子空间, 称为 R m 上的 r-形式空间, 记作 Λ r (R m). 定义 1.5 (简单 r-形式). 设 u1, · · · ,ur ∈ R m, 则 u1 ∧ · · · ∧ ur ∈ Λ r (R m) 称为简单 r-形式. 根据外积运算的基本性质 (1), 有 u1 ∧ · · · ∧ ur = r! 1! · · · 1!A (u1 ⊗ · · · ⊗ ur) = r!A (u1 ⊗ · · · ⊗ ur) ∈ Λ r (R m). 即简单 r-形式是 r 阶反对称张量. 定理 1.4. 设 u1, · · · ,ur ∈ R m, v1, · · · , vr ∈ R m, 则有 u1 ∧ · · · ∧ ur(v1, · · · , vr) =         (u1, v1)Rm · · · (u1, vr)Rm . . . . . . (ur, v1)Rm · · · (ur, vr)Rm         . 证明 根据外积的定义可有 u1 ∧ · · · ∧ ur(v1, · · · , vr) = r!A (u1 ⊗ · · · ⊗ ur)(v1, · · · , vr) = ∑ σ∈Pr sgn σIσ(u1 ⊗ · · · ⊗ ur)(v1, · · · , vr) = ∑ σ∈Pr sgn σ(u1 ⊗ · · · ⊗ ur)(vσ(1), · · · , vσ(r) ) (置换算子的定义) = ∑ σ∈Pr sgn σ(u1, vσ(1))Rm · · ·(ur, vσ(r) )Rm (简单张量的定义) =         (u1, v1)Rm · · · (u1, vr)Rm . . . . . . (ur, v1)Rm · · · (ur, vr)Rm         (行列式的定义). 推论 1.4.1. 对 ∀ σ ∈ Pr, 有 Iσ(gi1 ∧ · · · ∧ gir ) = gσ(i1) ∧ · · · ∧ gσ(ir) = gσ−1(i1) ∧ · · · ∧ gσ−1(ir) = sgn σgi1 ∧ · · · ∧ gir . 5