张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟 证明根据置换算子的定义,有 n(g1A…∧91)(u1,,r)=g1A…^g;1(u(1),…,w() (g1,u()m…(g1,t(n)m h,1) Ur rm gog i1A…∧91,( ur) 同样有 n(gn1A…∧g1)(u1,…,ur) (91 (g1,1)m( (g1,1)e Lr (9(x),1 )(;…,ar), I(92 (g1,()m (gi, uo(r))Rmo-1(1), u1)Rm 1(i1),r)Rm 综上,有 n(g1A…∧91)= snog1A…∧g1=9(x)A…^9(-) 引理1.5.如果反对称张量的分量有两个指标相同,则该分量必为零 证明设更∈A(Rm),则其分量满足 va∈P 设该分量的第i个和第j个指标是相同的,即k=k,令 则有sgna=-1.所以有 0(k=k) 此引理表明,如果某外形式空间r>m,则必然有A(Rm)={0},即仅含有r阶零张量 根据引理1.5(第6页),可以得出如下的反对称张量表示定理张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 证明 根据置换算子的定义, 有 Iσ(gi1 ∧ · · · ∧ gir )(u1, · · · ,ur) = gi1 ∧ · · · ∧ gir (uσ(1), · · · ,uσ(r) ) =         (gi1 ,uσ(1))Rm · · · (gi1 ,uσ(r) )Rm . . . . . . (gir ,uσ(1))Rm · · · (gir ,uσ(r) )Rm         = sgn σ         (gi1 ,u1)Rm · · · (gi1 ,ur)Rm . . . . . . (gir ,u1)Rm · · · (gir ,ur)Rm         = sgn σgi1 ∧ · · · ∧ gir (u1, · · · ,ur). 同样有 Iσ(gi1 ∧ · · · ∧ gir )(u1, · · · ,ur) = sgn σ         (gi1 ,u1)Rm · · · (gi1 ,ur)Rm . . . . . . (gir ,u1)Rm · · · (gir ,ur)Rm         =         (gσ(i1) ,u1)Rm · · · (gσ(i1) ,ur)Rm . . . . . . (gσ(ir) ,u1)Rm · · · (gσ(ir) ,ur)Rm         = gσ(i1) ∧ · · · ∧ gσ(ir) (u1, · · · ,ur), Iσ(gi1 ∧ · · · ∧ gir )(u1, · · · ,ur) =         (gi1 ,uσ(1))Rm · · · (gi1 ,uσ(r) )Rm . . . . . . (gir ,uσ(1))Rm · · · (gir ,uσ(r) )Rm         =         (gσ−1(i1) ,u1)Rm · · · (gσ−1(i1) ,ur)Rm . . . . . . (gσ−1(ir) ,u1)Rm · · · (gσ−1(ir) ,ur)Rm         = gσ−1(i1) ∧ · · · ∧ gσ−1(ir) (u1, · · · ,ur). 综上, 有 Iσ(gi1 ∧ · · · ∧ gir ) = sgn σgi1 ∧ · · · ∧ gir = gσ(i1) ∧ · · · ∧ gσ(ir) . 引理 1.5. 如果反对称张量的分量有两个指标相同, 则该分量必为零. 证明 设 Φ ∈ Λ r (R m), 则其分量满足 Φ σ(k1)···σ(kr) = sgn σΦk1···kr , ∀ σ ∈ Pr. 设该分量的第 i 个和第 j 个指标是相同的, 即 ki = kj . 令 σ = [ 1 · · · i · · · j · · · r 1 · · · j · · · i · · · r ] , 则有 sgn σ = −1. 所以有 Φ k1···ki···kj ···kr = −Φ k1···kj ···ki···kr = −Φ k1···ki···kj ···kr , 即 Φ k1···ki···kj ···kr = 0 (ki = kj ). 此引理表明, 如果某外形式空间 r > m, 则必然有 Λ r (R m) = {0}, 即仅含有 r 阶零张量. 根据引理1.5(第6页)), 可以得出如下的反对称张量表示定理. 6