《高等数学)上册救案 第三章中值定理与导数的应用 有f(x。)<fx),表明fx。)是函数fx)的一个极小值：与fx)在区间I有唯一的极大值矛盾。 例2.一均匀杠杆如图所示，已知杠杆自重为5公斤/米。欲使之保持平衡，求最省力的杠杆 的长度。 解：设杠杆的长度为x米，则根据物理学中的公式： 长 力矩=力义力臂及杠杆平衡原理，合力矩等于零： Fx-49x01-5x×5=0Fx=49x0.1川5xx 即：F=4.95r x20.1:F'=495-5x2-9.8 x2+22x 马成有黄一的税高：一受4：学2心部0，每张数线制贸家二克 9.8 分条件，x=14是唯一的极值点，而且是极小值点。再根据上面的定理，x=14是最小值点， 即最省力的杠杆长度为1.4米。 例3.设f(x)=mx1-x),n=l,2,…。求 (1)fx)在[0,1]上的最大值Mm):(2)求极限IimM(m)。 解：f---m0-r门---a+=0,鞋点：1. 0=0=0.=">0.割M=-(: 】、 2mM=mn牛"=m0+为y+= 例4.讨论方程lnx=ar(a>0)有几个实根。 分析：方程lnx=ar的根在几何上就是曲线y=nx与直线 y=m交点的横坐标。从图中可以看出应该有两个、一个交点或无交点。 解：记0=nx-,了)。匹，有食-的雅点：占：且 广()=子月=口<0，剥x=是极大值点，从而是最大值点田 的最大位为：f白=hn后l1:mf)=-,m)=-,即 f白>0 10 第21页一共32页 泰永安