《高等数学》上册教案 第三章中伯定理与导数的应用 所以x=5是极小值点，极小值为f⑤)=0。 §6、最大值与最小值 函数的极值是函数在局部的最大或最小值。本节讨论的是函数在其定义域或指定范围上 的最大值或最小值。 一.闭区间上连续函数的最大值与最小值 已知闭区间上的连续函数可以在区间上取得最大值以及最小值，即若函数()在闭区间 [a,b上连续，则一定存在5、5∈[a,,对于任意x∈[a,,均有m=f5)sx)sf5)=M。 ①如果m、M在区间的端点取得，则必为f@)或fb: ②如果m、M在区间的内部取得，即存在气∈(a,b)或52∈(a,b),使得：m=f5)或 M=f店)，则此时的5或5，一定fx)是极值点（注意到：当fx)可导时，极值点产生于 驻点) 求闭区间上连续函数的最大值、最小值的方法 ①确定函数f(x)的定义域： ②求f"(x)=0以及f(x)不存在的点（无需用判别法进行判别）： ③计算以上的各，点中的函数值以及区间端点的函数值，比较大小，可得函数最大值及最小值。 例1.设函数fx)=(x-2}(x+)形在闭区间【2,3]上最大值及最小值。 解：指定的区间为：上2,3： f)=2-2%+1+6x-26+1)%.2-24r+ 3x+1 驻点：x=2,寻：f不存在的点：x=1: f-0=0f2=学孕2)=0f2=16f6)=年 比较可得：M=f(-2)=16,m=f(1)=f2)=0。 二，应用问题中的最大值与最小值 定理、如果连续函数在区间内有唯一的极值，则该极值一定是最值。 证：设函数f(x)在区间I内连续，5，是唯一的极值点且是极大值点。假设5)不是最大值， 则必然存在Ee1,不妨设5。<”，使得f店)<传)，则f)在闭区间5。，5]上连续，在 5。,5]上可以取得最大值以及最小值：国为f5)是极大值，以及f作)<），从而一定 存在x0∈(5o,5),fx)在x取得5。，5上最小值；即存在N(x,6)c(5o,5),在此邻城内， 第20页一共32页 泰衣安