排列的逆序数23…m1]=n-1:故 Dn=(-1)a1a2…an-1an 例5回答下列问题: (1)在一个n阶行列式中等于零的元素如果比n-n还多,那么此行列式等于零,为什 (2)如果n阶行列式中所有的元素变号,那么n阶行列式有什么变化,为什么? 解(1)由n阶行列式的展开式 D ∑ r(w2"naij 可知,D的值是n!项的代数和,而其中每一项都是n个元素的乘积,这n个元素又需要取自不 同行不同列 又n阶行列式D中一共有n2个元素,如果等于零的元素比(n2-m)还多,那么其中不等 于零的元素就一定比2-(m2-m)=n还少,也就是说,D中最多有n-1个元素不等于零,所 以D的m!项中每一项的n个元素中必有零元出现即n!项的每一项都是零,故必有Dn=0 (2)设 anI an2 在行列式D中每一个元素均变号,则得 D 因此,当n为偶数时,在D=Dn,即n阶行列式不变:当n为奇数时,有Dn=一Dn,即n阶 行列式变号排列的逆序数  23n1 = n − 1 ；故 1 2 1 1 1 ( 1) n n n Dn a a a − a − = −  例 5 回答下列问题： （1）在一个 n 阶行列式中等于零的元素如果比 n − n 2 还多,那么此行列式等于零,为什 么？ （2）如果 n 阶行列式中所有的元素变号,那么 n 阶行列式有什么变化,为什么？ 解 （1）由 n 阶行列式的展开式 n n n j j nj j j j j j j n n n n n n n a a a a a a a a a a a a D           1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 = = (−1)  可知,Dn的值是 n!项的代数和,而其中每一项都是 n 个元素的乘积,这 n 个元素又需要取自不 同行不同列. 又 n 阶行列式 Dn中一共有 2 n 个元素,如果等于零的元素比 ( ) 2 n − n 还多,那么其中不等 于零的元素就一定比 n − (n − n) = n 2 2 还少,也就是说,Dn 中最多有 n − 1 个元素不等于零,所 以 Dn的 n!项中每一项的 n 个元素中必有零元出现.即 n!项的每一项都是零,故必有 Dn = 0 . （2）设 n n nn n n n a a a a a a a a a D        1 2 21 22 2 11 12 1 = 在行列式 Dn中每一个元素均变号,则得 n n n n n n n n n n n n n n n n D a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ( 1) ( 1) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = − = − − − − − − − − − − =               因此,当 n 为偶数时,在 Dn = Dn  ,即 n 阶行列式不变；当 n 为奇数时,有 Dn = −Dn  ,即 n 阶 行列式变号