经济数学基础 第4章多元函数的微分 (1)根据题意,建立函数关系; (2)求驻点 如果驻点合理且惟一,则该驻点就是所求的应用问题的最大点(或最小点) 问题思考:二元函数的极值点与驻点之间有什么关系? 答案与一元函数类似,二元函数的驻点不一定是极值点,偏导数不存在的极值点也不是 驻点.但偏导数存在的极值点一定是驻点 三、例题讲解 例1求函数二=(x2+y2-2)在圆域D={xyx2+y22x)上的最大值和最 小值 解:显然〓≥0,且在闭域D上连续,当x2+y2=2x时,z=0,这是该函数 在D上的最小值 2(x2+ 0 下面求最大值: 解得x=1,y=0 它是函数=(x+y-2x)在D内部的唯一驻点,故是最大点,最大值为 (1,0)=1 例2用铁皮做一个体积为的无盖长方体箱子,问其尺寸为多少时,才能用 料最省? 解:设长、宽分别为xy,则高为一,表面积为 S 2 128经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——128—— （1）根据题意，建立函数关系； （2）求驻点； 如果驻点合理且惟一，则该驻点就是所求的应用问题的最大点（或最小点）． 问题思考：二元函数的极值点与驻点之间有什么关系？ 答案 与一元函数类似，二元函数的驻点不一定是极值点，偏导数不存在的极值点也不是 驻点．但偏导数存在的极值点一定是驻点． 三、例题讲解 例1 求函数 2 2 2 z = (x + y − 2x) 在圆域 D (x, y); x y 2x 2 2 = +  上的最大值和最 小值． 解：显然 z  0 ，且在闭域 D 上连续，当 x y 2x 2 2 + = 时， z = 0 ，这是该函数 在 D 上的最小值． 下面求最大值： 2( 2 )(2 2) 0 2 2 = + − − =   x y x x x z ， 2( 2 ) 2 0 2 2 = + −  =   x y x y y z 解得 x = 1, y = 0 它是函数 2 2 2 z = (x + y − 2x) 在 D 内部的唯一驻点，故是最大点，最大值为 z(1,0) = 1． 例 2 用铁皮做一个体积为 V 的无盖长方体箱子，问其尺寸为多少时，才能用 料最省？ 解：设长、宽分别为 x, y ，则高为 xy V ，表面积为 xy V y xy V S = xy + 2x + 2 x V y V = xy + 2 + 2