+ 图26多值函数t=√2-a的 Riemann面 对于更复杂一些的根式函数,例如m=√z-a或√(2-a(z-b),等等,也可以类似地讨 论.只是需要注意找出多值函数的全部枝点,并且正确地确定割线的作法在一般情况下,割线 可能不止一条,也不一定需要用一条割线把全部枝点都连接起来 2.对数函数Inz 对数函数ω=lnz的定义是e=z,也就是说,给定自变量z的一个数值,凡是满足e=z 的所有v值均称为对数函数u=1nz的函数值.它是指数函数=e2的反函数.令u=u+it z=re,就得到ea.e=re°,所以 u=lnr=l|2,v=6+2n(m=0,±1,±2,…) 以后我们就把对数函数v=lnz明确表示为 w=In z=In z +i(0+ 2n7)=In z +iarg z 图27多值函数u=lnz u=lnz:给定一个z值,有无穷多个u值 因此,对数函数砌=lnz也是多值的,其多值性的来源是宗量z辐角的多值性,多值性的表 现则是函数值v的虚部.对应每一个z值,有无穷多个u值,它们的实部相同,虚部相差2π的 整数倍.图27给出了对数函数u=lnz的示意图Wu Chong-shi ❄❅❆ ￾✁✂✄❇❈❉✂✄ ☎ 29 ✆ ❥ 2.6 ➲➳♠❧ w = √ z − a ➵ Riemann ➸ ⑤ t ✄✮➉ ❳ ✺✱➔ ❤✕✖❏❷ ✵ w = √3 z − a ❽ p3 (z − a)(z − b) ❏ ss❏❚✤✥➺➻✝♦ ✖ ✴❣ ★➼ ❤➽➾➚➨❢➄✕✖✱❑➪❋P ❏❃◆❹✛ ✝ ✛❩⑧ ✰✱✾③✴✭❳➶➹➘✠❏ ⑧ ✰ ✤✻➂➴❳➷ ❏❚➂❳❩➼ ❤ ➊❳➷⑧✰ ✧ ❑➪❋P✣✱➨✤ ✗✴ 2. ➬●❋● ln z ⑤✖✕✖ w = ln z ✱ ❩❬★ e w = z ❏❚ô★ö❏î❩ ï ✬ð z ✱ ❳ ✇✖➄❏ñ★òó e w = z ✱❀❂ w ➄➮ ❊ ✿⑤✖✕✖ w = ln z ✱✕✖➄✴✜★✗✖✕✖ w = ez ✱ù✕✖✴➱ w = u + iv ❏ z = re iθ ❏ ô① ✸ e u · e iv = re iθ ✴❀✥ u = ln r = ln |z|, v = θ + 2nπ (n = 0, ±1, ±2, · · ·). ✥✦❏✢ô✧ ⑤✖✕✖ w = ln z ➙ ✛ ú★✿ w = ln z = ln |z| + i(θ + 2nπ) = ln |z| + i arg z. ❥ 2.7 ➲➳♠❧ w = ln z w = ln z ✃❐❒❮❰ z ➳ÏÐÑÒ➲❰ w ➳ ➥➦❏⑤✖✕✖ w = ln z ❚ ★ ❢➄✱❏❝ ❢➄✽✱✗✘★✜ð z ✙ ✙✱❢➄✽❏❢➄✽✱ú û④★ ✕✖➄ w ✱ ❾ ➪✴⑤✪ ❧ ❳ ✇ z ➄❏❂⑨⑩❢✇ w ➄❏✜✢✱ ✫ ➪ ✩➃ ❏ ❾ ➪ ✩Ó 2π ✱ ♠✖Ô✴ ❀ 2.7 î➨✂⑤✖✕✖ w = ln z ✱★➾❀ ✴